6.设某城市男子身高 sim N(170,36),-|||-(1)问应如何选择公共汽车车门的高度,才能使男子与车门碰头的机会小于0.01;-|||-(2)若车门高为182c m,求100个男子中与车门碰头的人数不多于2个的概率.

考查要点：本题主要考查正态分布的应用及二项分布的泊松近似，涉及概率计算和实际问题的转化。

解题思路：

1. 第一问：确定车门高度使碰头概率小于0.01，需将实际问题转化为标准正态分布，找到对应分位数，再反推原始数据范围。
2. 第二问：计算100人中碰头人数不超过2的概率，需先求单次碰头概率，再用二项分布结合泊松近似简化计算。

破题关键：

• 标准化转换：将实际身高转化为标准正态变量，利用标准正态分布表查分位数。
• 泊松近似条件：当试验次数$n$较大且概率$p$较小时，二项分布可用泊松分布近似，简化计算。

第（1）题

确定碰头概率对应的分位数

设车门高度为$c$，要求$P(X > c) \leq 0.01$。将$X$标准化：
$P\left(\frac{X - 170}{6} > \frac{c - 170}{6}\right) \leq 0.01$
查标准正态分布表，右侧概率0.01对应的分位数为$z = 2.33$，因此：
$\frac{c - 170}{6} = 2.33 \implies c = 170 + 6 \times 2.33 = 183.98 \, \text{cm}$

结论

车门高度应设为184cm（向上取整）。

第（2）题

计算单次碰头概率

车门高182cm时，单个男子碰头的概率：
$p = P(X > 182) = P\left(\frac{X - 170}{6} > \frac{182 - 170}{6}\right) = P(Z > 2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$

建立泊松近似模型

设$Y$为100人中碰头人数，$Y \sim \text{B}(100, 0.0228)$。因$n=100$较大，$p=0.0228$较小，用泊松分布近似，参数$\lambda = np = 2.28$。

计算累积概率

$\begin{aligned}P(Y \leq 2) &= e^{-2.28} \left(1 + 2.28 + \frac{2.28^2}{2}\right) \\&\approx 0.1013 \times (1 + 2.28 + 2.6244) \\&\approx 0.1013 \times 5.9044 \approx 0.6013\end{aligned}$