23.设总体X服从几何分布,即 (X=k)=(PG)^k-1 =1, 2,···,其中 lt plt 1, =1-p, x1,x2,-|||-···,xn为该总体的样本.求x(n),x(1)的概率分布.

考查要点：本题主要考查几何分布的样本极值（最大值和最小值）的概率分布推导，涉及累积分布函数（CDF）和概率质量函数（PMF）的转换。

解题核心思路：

1. 样本最大值的概率分布：通过计算所有样本均不超过$k$的概率，再减去所有样本均不超过$k-1$的概率，得到$x_{(n)}=k$的概率。
2. 样本最小值的概率分布：通过计算所有样本均不小于$k$的概率，再减去所有样本均不小于$k+1$的概率，得到$x_{(1)}=k$的概率。

破题关键点：

• 几何分布的CDF为$P(X \leq k) = 1 - q^k$。
• 样本极值的CDF需结合独立样本的概率性质，通过乘法原理计算联合概率。

样本最大值$x_{(n)}$的分布

步骤1：计算$x_{(n)} \leq k$的概率

所有样本均不超过$k$的概率为：
$P(x_{(n)} \leq k) = [P(X \leq k)]^n = \left(1 - q^k\right)^n$

步骤2：计算$x_{(n)} = k$的概率

通过差分CDF得到：
$P(x_{(n)} = k) = P(x_{(n)} \leq k) - P(x_{(n)} \leq k-1) = \left(1 - q^k\right)^n - \left(1 - q^{k-1}\right)^n$

样本最小值$x_{(1)}$的分布

步骤1：计算$x_{(1)} \geq k$的概率

所有样本均不小于$k$的概率为：
$P(x_{(1)} \geq k) = [P(X \geq k)]^n = \left(q^{k-1}\right)^n = q^{n(k-1)}$

步骤2：计算$x_{(1)} = k$的概率

通过差分CDF得到：
$P(x_{(1)} = k) = P(x_{(1)} \geq k) - P(x_{(1)} \geq k+1) = q^{n(k-1)} - q^{nk} = q^{n(k-1)}(1 - q^n)$