题目
1.为考察某大学成年女性的脂肪水平,现抽取了样本容量为25的一样本,并测得样本均-|||-值 overline (x)=186, 修正的样本标准差 =12, 假定所论脂肪水平 approx N(mu ,(sigma )^2), μ与σ^2均未知,试分-|||-别求出μ及d^2的置信水平为0.90的置信区间.-|||-(附: _(0.05)(24)=1.711, _(0.05)^2(24)=36.415, _(0.95)^2(24)=13.848)
题目解答
答案
解析
步骤 1：求μ的置信区间
由于σ^2未知，我们使用t分布来求μ的置信区间。置信区间的公式为：
$$
\overline{x} \pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$\overline{x}$是样本均值，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$是t分布的临界值，s是样本标准差，n是样本容量。
步骤 2：求σ^2的置信区间
由于μ未知，我们使用卡方分布来求σ^2的置信区间。置信区间的公式为：
$$
\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}
$$
其中，$\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$和$\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$是卡方分布的临界值。
由于σ^2未知，我们使用t分布来求μ的置信区间。置信区间的公式为：
$$
\overline{x} \pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$\overline{x}$是样本均值，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$是t分布的临界值，s是样本标准差，n是样本容量。
步骤 2：求σ^2的置信区间
由于μ未知，我们使用卡方分布来求σ^2的置信区间。置信区间的公式为：
$$
\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}
$$
其中，$\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$和$\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$是卡方分布的临界值。