题目
27/28 证明/计算/分析题求矩阵A=}1&0&11&1&01&1&0的奇异值分解.
27/28 证明/计算/分析题
求矩阵$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\1&1&0\\1&1&0\end{bmatrix}$的奇异值分解.
题目解答
答案
矩阵 $ A $ 的奇异值分解为：
\[
A = U \Sigma V^T
\]
其中，
\[
U = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \Sigma = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad V = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \end{bmatrix}
\]
（注：$ V $ 的列向量为右奇异向量，$ U $ 的列向量为左奇异向量。）