题目
已知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布N(220，20^2).其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200Vsim 240V之间；③超过240V.在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2.(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；(2)从该机器生产的零件中随机抽取n(ngeqslant 2)件，记其中恰有2件不合格品的概率为p_(n)，求p取得最大值时n的值.附：若Zsim N(mu ，sigma ^2)取P(mu -sigma lt Z lt mu +sigma )=0.68，P(mu -2sigma lt Z lt mu +2sigma )=0.95.
已知某种机器的电源电压$U($单位：$V)$服从正态分布$N(220$，$20^{2})$.其电压通常有$3$种状态：①不超过$200V$；②在$200V\sim 240V$之间；③超过$240V$.在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为$0.15$，$0.05$，$0.2$.
$(1)$求该机器生产的零件为不合格品的概率；
$(2)$从该机器生产的零件中随机抽取$n\left(n\geqslant 2\right)$件，记其中恰有$2$件不合格品的概率为$p_{n}$，求$p$取得最大值时$n$的值.
附：若$Z\sim N(\mu $，$\sigma ^{2})$取$P\left(\mu -\sigma\ \ \lt Z \lt \mu +\sigma \right)=0.68$，$P\left(\mu -2\sigma\ \ \lt Z \lt \mu +2\sigma \right)=0.95$.
$(1)$求该机器生产的零件为不合格品的概率；
$(2)$从该机器生产的零件中随机抽取$n\left(n\geqslant 2\right)$件，记其中恰有$2$件不合格品的概率为$p_{n}$，求$p$取得最大值时$n$的值.
附：若$Z\sim N(\mu $，$\sigma ^{2})$取$P\left(\mu -\sigma\ \ \lt Z \lt \mu +\sigma \right)=0.68$，$P\left(\mu -2\sigma\ \ \lt Z \lt \mu +2\sigma \right)=0.95$.
题目解答
答案
（1）记电压“不超过$200V$”、“在$200V\sim 240V$之间”、“超过$240V$”分别为事件$A$，$B$，$C$，
“该机器生产的零件为不合格品”为事件$D$.
因为$U\sim N(220$，$20^{2})$，所以$P(A)=P(U≤200)=\frac{1-P(μ-σ＜Z＜μ+σ)}{2}=\frac{1-0.68}{2}=0.16$，
$P\left(B\right)=P\left(200 \lt U \lt 240\right)=P\left(\mu -\sigma\ \ \lt Z \lt \mu +\sigma \right)=0.68$，
$P(C)=P(U＞240)=\frac{1-P(μ-σ＜Z＜μ+σ)}{2}=\frac{1-0.68}{2}=0.16$，
所以$P\left(D\right)=P\left(A\right)P\left(D|A\right)+P\left(B\right)P\left(D|B\right)+P\left(C\right)P\left(D|C\right)=0.16\times 0.15+0.68\times 0.05+0.16\times 0.2=0.09$，
该机器生产的零件为不合格品的概率为$0.09$；
$(2)$从该机器生产的零件中随机抽取$n$件，设不合格品件数为$X$，则$X\sim B\left(n,0.09\right)$，
所以$p_n=P(X=2)=C_n^2•0.91^{n-2}•0.09^2$，
由$\frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{C_{n+1}^{2}•0.91^{n-1}•0.09^{2}}{C_{n}^{2}•0.91^{n-2}•0.09^{2}}=\frac{n+1}{n-1}×0.91＞1$，
解得$n＜\frac{191}{9}$，所以当$n\leqslant 21$时，$p_{n} \lt p_{n+1}$；
当$n\geqslant 22$时，$p_{n} \gt p_{n+1}$，所以$p_{22}$最大，因此当$n=22$时，$p_{n}$最大.
“该机器生产的零件为不合格品”为事件$D$.
因为$U\sim N(220$，$20^{2})$，所以$P(A)=P(U≤200)=\frac{1-P(μ-σ＜Z＜μ+σ)}{2}=\frac{1-0.68}{2}=0.16$，
$P\left(B\right)=P\left(200 \lt U \lt 240\right)=P\left(\mu -\sigma\ \ \lt Z \lt \mu +\sigma \right)=0.68$，
$P(C)=P(U＞240)=\frac{1-P(μ-σ＜Z＜μ+σ)}{2}=\frac{1-0.68}{2}=0.16$，
所以$P\left(D\right)=P\left(A\right)P\left(D|A\right)+P\left(B\right)P\left(D|B\right)+P\left(C\right)P\left(D|C\right)=0.16\times 0.15+0.68\times 0.05+0.16\times 0.2=0.09$，
该机器生产的零件为不合格品的概率为$0.09$；
$(2)$从该机器生产的零件中随机抽取$n$件，设不合格品件数为$X$，则$X\sim B\left(n,0.09\right)$，
所以$p_n=P(X=2)=C_n^2•0.91^{n-2}•0.09^2$，
由$\frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{C_{n+1}^{2}•0.91^{n-1}•0.09^{2}}{C_{n}^{2}•0.91^{n-2}•0.09^{2}}=\frac{n+1}{n-1}×0.91＞1$，
解得$n＜\frac{191}{9}$，所以当$n\leqslant 21$时，$p_{n} \lt p_{n+1}$；
当$n\geqslant 22$时，$p_{n} \gt p_{n+1}$，所以$p_{22}$最大，因此当$n=22$时，$p_{n}$最大.
解析
步骤 1：计算电压在不同状态下的概率
根据正态分布$N(220, 20^2)$，我们首先计算电压在不同状态下的概率。电压$U$的均值$\mu=220$，标准差$\sigma=20$。
- 对于电压不超过$200V$，即$P(U \leq 200)$，我们有$P(U \leq 200) = P(U \leq \mu - \sigma) = \frac{1 - P(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma)}{2} = \frac{1 - 0.68}{2} = 0.16$。
- 对于电压在$200V$到$240V$之间，即$P(200 < U < 240)$，我们有$P(200 < U < 240) = P(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma) = 0.68$。
- 对于电压超过$240V$，即$P(U > 240)$，我们有$P(U > 240) = P(U > \mu + \sigma) = \frac{1 - P(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma)}{2} = \frac{1 - 0.68}{2} = 0.16$。
步骤 2：计算该机器生产的零件为不合格品的概率
根据题目，电压在不同状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为$0.15$，$0.05$，$0.2$。因此，该机器生产的零件为不合格品的总概率$P(D)$为：
$P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) = 0.16 \times 0.15 + 0.68 \times 0.05 + 0.16 \times 0.2 = 0.09$。
步骤 3：计算$p_n$取得最大值时$n$的值
从该机器生产的零件中随机抽取$n$件，设不合格品件数为$X$，则$X\sim B(n, 0.09)$。$p_n$表示其中恰有$2$件不合格品的概率，即$p_n = C_n^2 \cdot 0.91^{n-2} \cdot 0.09^2$。为了求$p_n$取得最大值时$n$的值，我们考虑$\frac{p_{n+1}}{p_n}$的比值：
$\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{C_{n+1}^2 \cdot 0.91^{n-1} \cdot 0.09^2}{C_n^2 \cdot 0.91^{n-2} \cdot 0.09^2} = \frac{n+1}{n-1} \cdot 0.91$。
当$\frac{p_{n+1}}{p_n} > 1$时，$p_n$递增；当$\frac{p_{n+1}}{p_n} < 1$时，$p_n$递减。解不等式$\frac{n+1}{n-1} \cdot 0.91 > 1$，得到$n < \frac{191}{9}$。因此，当$n \leq 21$时，$p_n$递增；当$n \geq 22$时，$p_n$递减。所以$p_{22}$最大，因此当$n=22$时，$p_n$最大。
根据正态分布$N(220, 20^2)$，我们首先计算电压在不同状态下的概率。电压$U$的均值$\mu=220$，标准差$\sigma=20$。
- 对于电压不超过$200V$，即$P(U \leq 200)$，我们有$P(U \leq 200) = P(U \leq \mu - \sigma) = \frac{1 - P(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma)}{2} = \frac{1 - 0.68}{2} = 0.16$。
- 对于电压在$200V$到$240V$之间，即$P(200 < U < 240)$，我们有$P(200 < U < 240) = P(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma) = 0.68$。
- 对于电压超过$240V$，即$P(U > 240)$，我们有$P(U > 240) = P(U > \mu + \sigma) = \frac{1 - P(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma)}{2} = \frac{1 - 0.68}{2} = 0.16$。
步骤 2：计算该机器生产的零件为不合格品的概率
根据题目，电压在不同状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为$0.15$，$0.05$，$0.2$。因此，该机器生产的零件为不合格品的总概率$P(D)$为：
$P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) = 0.16 \times 0.15 + 0.68 \times 0.05 + 0.16 \times 0.2 = 0.09$。
步骤 3：计算$p_n$取得最大值时$n$的值
从该机器生产的零件中随机抽取$n$件，设不合格品件数为$X$，则$X\sim B(n, 0.09)$。$p_n$表示其中恰有$2$件不合格品的概率，即$p_n = C_n^2 \cdot 0.91^{n-2} \cdot 0.09^2$。为了求$p_n$取得最大值时$n$的值，我们考虑$\frac{p_{n+1}}{p_n}$的比值：
$\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{C_{n+1}^2 \cdot 0.91^{n-1} \cdot 0.09^2}{C_n^2 \cdot 0.91^{n-2} \cdot 0.09^2} = \frac{n+1}{n-1} \cdot 0.91$。
当$\frac{p_{n+1}}{p_n} > 1$时，$p_n$递增；当$\frac{p_{n+1}}{p_n} < 1$时，$p_n$递减。解不等式$\frac{n+1}{n-1} \cdot 0.91 > 1$，得到$n < \frac{191}{9}$。因此，当$n \leq 21$时，$p_n$递增；当$n \geq 22$时，$p_n$递减。所以$p_{22}$最大，因此当$n=22$时，$p_n$最大。