24.（判断题，4.0分）由正态总体N(100，4)抽取二个独立样本，样本均值分别为overline(X)，overline(Y)，样本容量分别为15，20，则P(midoverline{X)-overline(Y)mid>0.2}=_0.7718_（已知Phi(0.29)=0.6141）A 对B 错

考查要点：本题主要考查正态总体样本均值的分布性质、独立正态变量之差的分布，以及利用标准正态分布函数计算概率。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：根据正态总体的性质，独立样本均值服从正态分布，均值为总体均值，方差为总体方差除以样本容量。
2. 求均值差的分布：两个独立正态变量之差仍服从正态分布，均值为两均值之差，方差为两方差之和。
3. 标准化处理：将均值差标准化为标准正态变量，利用题目给定的$\Phi(0.29)=0.6141$计算概率。
4. 双侧概率计算：通过标准正态分布的对称性，将绝对值概率转化为双侧尾部概率之和。

破题关键点：

• 正确计算方差和标准差：注意样本容量对总体方差的影响，以及合并方差时的加法运算。
• 合理近似计算：将标准化后的临界值$0.29277$近似为$0.29$，与题目给定的$\Phi(0.29)$对应。

步骤1：确定样本均值的分布

• 样本$\overline{X}$来自容量为15的样本，均值为$100$，方差为$\frac{4}{15}$，即：
  $\overline{X} \sim N\left(100, \frac{4}{15}\right)$
• 样本$\overline{Y}$来自容量为20的样本，均值为$100$，方差为$\frac{4}{20}$，即：
  $\overline{Y} \sim N\left(100, \frac{4}{20}\right)$

步骤2：求均值差的分布

• $\overline{X} - \overline{Y}$的均值为$100 - 100 = 0$，方差为$\frac{4}{15} + \frac{4}{20} = \frac{7}{15}$，即：
  $\overline{X} - \overline{Y} \sim N\left(0, \frac{7}{15}\right)$

步骤3：标准化处理

• 将$\overline{X} - \overline{Y}$标准化为标准正态变量$Z$：
  $Z = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{7}{15}}} \sim N(0, 1)$
• 原概率问题转化为：
  $P\left\{|Z| > \frac{0.2}{\sqrt{\frac{7}{15}}}\right\}$

步骤4：计算临界值与概率

• 计算标准化后的临界值：
  $\frac{0.2}{\sqrt{\frac{7}{15}}} \approx 0.29277 \quad (\text{近似取} \ 0.29)$
• 利用$\Phi(0.29) = 0.6141$，计算双侧概率：
  $P\{|\overline{X} - \overline{Y}| > 0.2\} = 2\left[1 - \Phi(0.29)\right] = 2(1 - 0.6141) = 0.7718$