题目
填空题（共6题，30.0分）15.（5.0分）若随机变量X与Y的相关系数为-0.8，则1-2X与2+3Y的相关系数为____.
填空题（共6题，30.0分）
15.（5.0分）若随机变量X与Y的相关系数为-0.8，则1-2X与2+3Y的相关系数为____.
题目解答
答案
为了求解随机变量 $1-2X$ 与 $2+3Y$ 的相关系数，我们首先需要使用相关系数的性质。两个随机变量 $U$ 和 $V$ 的相关系数定义为：
\[
\rho_{U,V} = \frac{\text{Cov}(U,V)}{\sqrt{\text{Var}(U) \text{Var}(V)}}
\]
其中，$\text{Cov}(U,V)$ 是 $U$ 和 $V$ 的协方差，$\text{Var}(U)$ 和 $\text{Var}(V)$ 分别是 $U$ 和 $V$ 的方差。
给定 $U = 1-2X$ 和 $V = 2+3Y$，我们首先计算协方差 $\text{Cov}(U,V)$。协方差的性质之一是：
\[
\text{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \text{Cov}(X,Y)
\]
其中 $a, b, c, d$ 是常数。在本题中，$a = -2$, $b = 1$, $c = 3$, $d = 2$，所以：
\[
\text{Cov}(1-2X, 2+3Y) = (-2) \cdot 3 \cdot \text{Cov}(X,Y) = -6 \text{Cov}(X,Y)
\]
接下来，我们计算方差 $\text{Var}(U)$ 和 $\text{Var}(V)$。方差的性质之一是：
\[
\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)
\]
所以：
\[
\text{Var}(1-2X) = (-2)^2 \text{Var}(X) = 4 \text{Var}(X)
\]
\[
\text{Var}(2+3Y) = 3^2 \text{Var}(Y) = 9 \text{Var}(Y)
\]
现在，我们可以计算相关系数 $\rho_{1-2X, 2+3Y}$：
\[
\rho_{1-2X, 2+3Y} = \frac{\text{Cov}(1-2X, 2+3Y)}{\sqrt{\text{Var}(1-2X) \text{Var}(2+3Y)}} = \frac{-6 \text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{4 \text{Var}(X) \cdot 9 \text{Var}(Y)}} = \frac{-6 \text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{36 \text{Var}(X) \text{Var}(Y)}} = \frac{-6 \text{Cov}(X,Y)}{6 \sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)}} = -\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)}}
\]
由于 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X,Y}$ 定义为 $\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)}}$，所以：
\[
\rho_{1-2X, 2+3Y} = -\rho_{X,Y}
\]
给定 $\rho_{X,Y} = -0.8$，我们有：
\[
\rho_{1-2X, 2+3Y} = -(-0.8) = 0.8
\]
因此，$1-2X$ 与 $2+3Y$ 的相关系数为 $\boxed{0.8}$。
解析
步骤 1：计算协方差
根据协方差的性质，我们有：
\[ \text{Cov}(1-2X, 2+3Y) = (-2) \cdot 3 \cdot \text{Cov}(X,Y) = -6 \text{Cov}(X,Y) \]
步骤 2：计算方差
根据方差的性质，我们有：
\[ \text{Var}(1-2X) = (-2)^2 \text{Var}(X) = 4 \text{Var}(X) \]
\[ \text{Var}(2+3Y) = 3^2 \text{Var}(Y) = 9 \text{Var}(Y) \]
步骤 3：计算相关系数
根据相关系数的定义，我们有：
\[ \rho_{1-2X, 2+3Y} = \frac{\text{Cov}(1-2X, 2+3Y)}{\sqrt{\text{Var}(1-2X) \text{Var}(2+3Y)}} = \frac{-6 \text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{4 \text{Var}(X) \cdot 9 \text{Var}(Y)}} = \frac{-6 \text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{36 \text{Var}(X) \text{Var}(Y)}} = \frac{-6 \text{Cov}(X,Y)}{6 \sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)}} = -\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)}} \]
由于 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X,Y}$ 定义为 $\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)}}$，所以：
\[ \rho_{1-2X, 2+3Y} = -\rho_{X,Y} \]
给定 $\rho_{X,Y} = -0.8$，我们有：
\[ \rho_{1-2X, 2+3Y} = -(-0.8) = 0.8 \]
根据协方差的性质，我们有：
\[ \text{Cov}(1-2X, 2+3Y) = (-2) \cdot 3 \cdot \text{Cov}(X,Y) = -6 \text{Cov}(X,Y) \]
步骤 2：计算方差
根据方差的性质，我们有：
\[ \text{Var}(1-2X) = (-2)^2 \text{Var}(X) = 4 \text{Var}(X) \]
\[ \text{Var}(2+3Y) = 3^2 \text{Var}(Y) = 9 \text{Var}(Y) \]
步骤 3：计算相关系数
根据相关系数的定义，我们有：
\[ \rho_{1-2X, 2+3Y} = \frac{\text{Cov}(1-2X, 2+3Y)}{\sqrt{\text{Var}(1-2X) \text{Var}(2+3Y)}} = \frac{-6 \text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{4 \text{Var}(X) \cdot 9 \text{Var}(Y)}} = \frac{-6 \text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{36 \text{Var}(X) \text{Var}(Y)}} = \frac{-6 \text{Cov}(X,Y)}{6 \sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)}} = -\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)}} \]
由于 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X,Y}$ 定义为 $\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)}}$，所以：
\[ \rho_{1-2X, 2+3Y} = -\rho_{X,Y} \]
给定 $\rho_{X,Y} = -0.8$，我们有：
\[ \rho_{1-2X, 2+3Y} = -(-0.8) = 0.8 \]