题目
3.设随机变量X与Y的方差D(X)和D(Y)都存在,且 (X)neq 0 , (r)neq 0,-|||-(XY)=E(X)E(Y), 则( __ )。-|||-(A)X与Y相互独立 (B)X与Y不相关-|||-(C) D(XY)=D(X)D(Y) (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算协方差
根据题目条件，E(XY) = E(X)E(Y)，这意味着随机变量X和Y的期望乘积等于它们各自期望的乘积。协方差定义为 $COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。因此，$COV(X,Y) = 0$。
步骤 2：判断不相关性
由于协方差为0，根据概率论中的定义，随机变量X和Y不相关。
步骤 3：判断独立性
不相关性并不意味着独立性。独立性需要满足 $P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$ 对所有x和y成立。题目中没有给出足够的信息来判断X和Y是否独立。
步骤 4：计算D(XY)
D(XY)并不等于D(X)D(Y)，除非X和Y是独立的。题目中没有给出X和Y独立的信息，因此不能得出D(XY) = D(X)D(Y)。
步骤 5：计算D(X-Y)
根据方差的性质，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2COV(X,Y)$。由于$COV(X,Y) = 0$，所以$D(X-Y) = D(X) + D(Y)$，而不是$D(X) - D(Y)$。
根据题目条件，E(XY) = E(X)E(Y)，这意味着随机变量X和Y的期望乘积等于它们各自期望的乘积。协方差定义为 $COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。因此，$COV(X,Y) = 0$。
步骤 2：判断不相关性
由于协方差为0，根据概率论中的定义，随机变量X和Y不相关。
步骤 3：判断独立性
不相关性并不意味着独立性。独立性需要满足 $P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$ 对所有x和y成立。题目中没有给出足够的信息来判断X和Y是否独立。
步骤 4：计算D(XY)
D(XY)并不等于D(X)D(Y)，除非X和Y是独立的。题目中没有给出X和Y独立的信息，因此不能得出D(XY) = D(X)D(Y)。
步骤 5：计算D(X-Y)
根据方差的性质，$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2COV(X,Y)$。由于$COV(X,Y) = 0$，所以$D(X-Y) = D(X) + D(Y)$，而不是$D(X) - D(Y)$。