例30.设p(x)，q(x)为连续函数且q(x)A. 不可能有负的极大值.B. 不可能有正的极小值.C. 不可能有负的极小值或正的极大值.D. 一定没有极值点.

考查要点：本题主要考查二阶线性齐次微分方程解的极值性质，结合微分方程在极值点处的特性进行逻辑推理。

解题核心思路：

1. 极值点条件：在极值点$x_0$处，解$f(x)$的一阶导数为零，即$f'(x_0)=0$。
2. 代入微分方程：将极值点条件代入原方程，得到$f''(x_0)$与$f(x_0)$的关系式。
3. 符号分析：结合$q(x)<0$的条件，分析$f''(x_0)$的符号，从而判断极值的类型（极大值或极小值）。
4. 排除矛盾情况：根据$f''(x_0)$与$f(x_0)$的同号性，排除不可能存在的极值类型。

破题关键点：

• 关键结论：在极值点，$f''(x_0)$与$f(x_0)$同号，且$q(x)<0$导致$f''(x_0)$的符号由$f(x_0)$直接决定。
• 逻辑推导：通过符号关系，推导出正的极大值和负的极小值不可能存在。

设$y=f(x)$为微分方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$的解，且$q(x) < 0$。

步骤1：分析极值点条件
在极值点$x_0$处，有$f'(x_0) = 0$。将此条件代入微分方程，得：
$f''(x_0) + q(x_0)f(x_0) = 0 \implies f''(x_0) = -q(x_0)f(x_0).$

步骤2：符号关系分析
由于$q(x_0) < 0$，则$-q(x_0) > 0$，因此：

• 当$f(x_0) > 0$时，$f''(x_0) = -q(x_0)f(x_0) > 0$，说明$x_0$是极小值点（排除正的极大值）。
• 当$f(x_0) < 0$时，$f''(x_0) = -q(x_0)f(x_0) < 0$，说明$x_0$是极大值点（排除负的极小值）。

步骤3：排除矛盾选项

• 正的极大值：若$f(x_0) > 0$，则$f''(x_0) > 0$，与极大值矛盾。
• 负的极小值：若$f(x_0) < 0$，则$f''(x_0) < 0$，与极小值矛盾。
  因此，不可能存在正的极大值或负的极小值。