设 a_(23) a_(31) a_(42) a_(56) a_(14) a_(65) 是 6 阶行列式的一项，则该项的符号为______。

我们来分析题目：

题目给出的是：
$ a_{23} a_{31} a_{42} a_{56} a_{14} a_{65} $ 是 6 阶行列式的一项，问该项的符号。

第一步：理解行列式的项的结构

一个 $ n $ 阶行列式的一般项是：

$\pm a_{1j_1} a_{2j_2} a_{3j_3} \cdots a_{nj_n}$

其中，行标是自然顺序 $1,2,3,\dots,n$，列标是 $1$ 到 $n$ 的一个排列 $j_1,j_2,\dots,j_n$。符号由列标排列的逆序数决定：

• 如果列标排列的逆序数为偶数，符号为正；
• 如果为奇数，符号为负。

但注意：也可以写成行标和列标都是乱序的，只要每个行和列只出现一次。此时，该项对应的是行标排列和列标排列的联合排列，符号由行标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性决定。

更一般地，行列式中的任意一项是：

$\text{符号} = (-1)^{\tau(\text{行标排列}) + \tau(\text{列标排列})}$

其中 $\tau$ 表示排列的逆序数。

第二步：提取行标和列标

题目给出的项是：

$a_{23} a_{31} a_{42} a_{56} a_{14} a_{65}$

我们逐个写出每个元素的行标和列标：

• $ a_{23} $：行 2，列 3
• $ a_{31} $：行 3，列 1
• $ a_{42} $：行 4，列 2
• $ a_{56} $：行 5，列 6
• $ a_{14} $：行 1，列 4
• $ a_{65} $：行 6，列 5

所以，行标序列是：2, 3, 4, 5, 1, 6
列标序列是：3, 1, 2, 6, 4, 5

我们检查一下是否每个行和列都只出现一次：

• 行标：1,2,3,4,5,6 ✅（都出现了）
• 列标：1,2,3,4,5,6 ✅（也都出现了）

所以这是一个合法的行列式项。

第三步：确定符号

由于行标不是自然顺序，列标也不是自然顺序，我们不能直接看列标的逆序数。

正确的方法是：将这个乘积项看作对应一个排列 $\sigma$，使得 $a_{i,\sigma(i)}$，但这里行标是乱的。

更标准的方法是：将这些元素按行标从小到大重新排列，得到对应的列标排列，然后计算该列标排列的逆序数，从而确定符号。

第四步：按行标排序，得到列标排列

我们把项按行标从 1 到 6 重新排列：

原始项：

• $ a_{14} $：行1 → 列4
• $ a_{23} $：行2 → 列3
• $ a_{31} $：行3 → 列1
• $ a_{42} $：行4 → 列2
• $ a_{56} $：行5 → 列6
• $ a_{65} $：行6 → 列5

所以，按行标自然顺序排列后，对应的列标序列为：

$4, 3, 1, 2, 6, 5$

这就是列标的一个排列：$ j_1=4, j_2=3, j_3=1, j_4=2, j_5=6, j_6=5 $

第五步：计算这个列标排列的逆序数

排列为：4, 3, 1, 2, 6, 5

我们计算逆序数 $\tau$，即前面的数比后面大的数对个数。

逐个计算：

• 4：后面比它小的数有 3,1,2 → 3 个逆序
• 3：后面比它小的有 1,2 → 2 个逆序
• 1：后面比它小的有 0 个
• 2：后面比它小的有 0 个
• 6：后面比它小的有 5 → 1 个逆序
• 5：后面没有数 → 0 个

总逆序数：$3 + 2 + 0 + 0 + 1 + 0 = 6$

逆序数为 6，是偶数，所以符号为 正号。

第六步：结论

因此，该项的符号为 正。

✅ 答案：

$\boxed{+}$