题目
设车间有 100 台机床,假定每台机床是否开工是独立的,每台机器平均开工率为 0.64,开工时需消耗电能 a 千瓦,问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率 0.99 保证车间正常生产?⏺
设车间有 100 台机床,假定每台机床是否开工是独立的,每台机器平均开工率为 0.64,开工时需消耗电能 a 千瓦,问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率 0.99 保证车间正常生产?
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题目解答
答案
解:设发电机只需供给该车间 m 千瓦的电能就能以概率 0.99 保证车间正常生产, 记 X 为 100 台机床中需开工的机床数,则 X ~ B(100,0.64),
E(aX)=64a ,D(aX ) =100×0.64×0.36a2
⏺
PaX m P
aX 64a
m 64a 0.99 (2.33)
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4.8a
m 64a 2.33 ,所以m 64a 2.33 4.8a 75.18a
4.8a
解析
步骤 1：定义随机变量
设 X 为 100 台机床中需开工的机床数，每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为 0.64，因此 X 服从二项分布 B(100, 0.64)。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 E(X) = np = 100 × 0.64 = 64，方差 D(X) = np(1-p) = 100 × 0.64 × 0.36 = 23.04。
步骤 3：计算电能需求的期望和方差
设每台机床开工时需消耗电能 a 千瓦，则电能需求 Y = aX。因此，E(Y) = aE(X) = 64a，D(Y) = a^2D(X) = 23.04a^2。
步骤 4：应用中心极限定理
由于 n = 100 较大，根据中心极限定理，Y 近似服从正态分布 N(64a, 23.04a^2)。
步骤 5：计算发电机需供给的电能
设发电机需供给的电能为 m 千瓦，以概率 0.99 保证车间正常生产，即 P(Y ≤ m) = 0.99。根据正态分布的性质，P(Y ≤ m) = P(Z ≤ (m - 64a) / (4.8a)) = 0.99，其中 Z 为标准正态分布。查标准正态分布表，得 (m - 64a) / (4.8a) = 2.33，解得 m = 64a + 2.33 × 4.8a = 75.18a。
设 X 为 100 台机床中需开工的机床数，每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为 0.64，因此 X 服从二项分布 B(100, 0.64)。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 E(X) = np = 100 × 0.64 = 64，方差 D(X) = np(1-p) = 100 × 0.64 × 0.36 = 23.04。
步骤 3：计算电能需求的期望和方差
设每台机床开工时需消耗电能 a 千瓦，则电能需求 Y = aX。因此，E(Y) = aE(X) = 64a，D(Y) = a^2D(X) = 23.04a^2。
步骤 4：应用中心极限定理
由于 n = 100 较大，根据中心极限定理，Y 近似服从正态分布 N(64a, 23.04a^2)。
步骤 5：计算发电机需供给的电能
设发电机需供给的电能为 m 千瓦，以概率 0.99 保证车间正常生产，即 P(Y ≤ m) = 0.99。根据正态分布的性质，P(Y ≤ m) = P(Z ≤ (m - 64a) / (4.8a)) = 0.99，其中 Z 为标准正态分布。查标准正态分布表，得 (m - 64a) / (4.8a) = 2.33，解得 m = 64a + 2.33 × 4.8a = 75.18a。