题目

不定积分 int (sin x cos x)/(sin^4 x + cos^4 x) dx = ( ).(A) (1)/(2) arctan(cos 2x) + C(B) -(1)/(2) arctan(cos 2x) + C(C) arctan(-cos 2x) + C(D) (1)/(2) ln | (sin 2x - 1)/(sin 2x + 1) | + C

不定积分 $\int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx = ($ $)$. (A) $\frac{1}{2} \arctan(\cos 2x) + C$ (B) $-\frac{1}{2} \arctan(\cos 2x) + C$ (C) $\arctan(-\cos 2x) + C$ (D) $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{\sin 2x - 1}{\sin 2x + 1} \right| + C$

题目解答

答案

我们来求解不定积分：

$\int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$

第一步：化简分母 $\sin^4 x + \cos^4 x$

我们利用恒等式：
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

又因为：
$\sin 2x = 2\sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \Rightarrow \sin^2 x \cos^2 x = \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x$

所以分母变为：
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$

第二步：化简整个被积函数

分子是：
$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

所以原积分变为：
$\int \frac{\frac{1}{2} \sin 2x}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{\sin 2x}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x} \, dx$

为了简化，我们进行变量替换。

第三步：令 $ u = 2x $，则 $ du = 2 dx $，即 $ dx = \frac{du}{2} $

代入得：
$\frac{1}{2} \int \frac{\sin u}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int \frac{\sin u}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 u} \, du$

我们来化简分母：
$1 - \frac{1}{2} \sin^2 u = \frac{2 - \sin^2 u}{2}$

所以积分变为：
$\frac{1}{4} \int \frac{\sin u}{\frac{2 - \sin^2 u}{2}} \, du = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} \int \frac{\sin u}{2 - \sin^2 u} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{\sin u}{2 - \sin^2 u} \, du$

第四步：进一步化简分母

注意到：
$2 - \sin^2 u = 2 - (1 - \cos^2 u) = 1 + \cos^2 u$
不对，等一下：
$\sin^2 u = 1 - \cos^2 u \Rightarrow 2 - \sin^2 u = 2 - (1 - \cos^2 u) = 1 + \cos^2 u$

所以：
$\frac{1}{2} \int \frac{\sin u}{1 + \cos^2 u} \, du$

第五步：令 $ t = \cos u $，则 $ dt = -\sin u \, du $

所以：
$\int \frac{\sin u}{1 + \cos^2 u} \, du = \int \frac{-dt}{1 + t^2} = -\arctan t + C = -\arctan(\cos u) + C$

因此：
$\frac{1}{2} \int \frac{\sin u}{1 + \cos^2 u} \, du = \frac{1}{2} \left( -\arctan(\cos u) \right) + C = -\frac{1}{2} \arctan(\cos u) + C$

而 $ u = 2x $，所以：
$-\frac{1}{2} \arctan(\cos 2x) + C$

最终答案：

$\boxed{-\frac{1}{2} \arctan(\cos 2x) + C}$

对应选项是：

$\boxed{\text{(B)}}$

答案：$\boxed{\text{(B)}\ -\frac{1}{2} \arctan(\cos 2x) + C}$

解析

考查要点：本题主要考查不定积分的计算技巧，涉及三角恒等式的应用、变量替换法以及分部积分法的综合运用。

解题核心思路：

  1. 分母化简：利用三角恒等式将$\sin^4 x + \cos^4 x$转化为更简洁的形式，便于后续积分。
  2. 分子与分母的关联：通过双角公式将分子$\sin x \cos x$与分母中的$\sin^2 2x$关联，简化被积函数。
  3. 变量替换：通过两次变量替换（$u=2x$和$t=\cos u$），将积分转化为标准形式，利用基本积分公式求解。

破题关键点：

  • 分母化简是关键的第一步，需熟练掌握$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$的推导。
  • 变量替换的选择直接影响积分的简化程度，需注意替换后的符号和积分变量的调整。

步骤1：化简分母
利用恒等式：
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$
结合$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$，得：
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$

步骤2：化简被积函数
分子$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$，原积分变为：
$\int \frac{\frac{1}{2} \sin 2x}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{\sin 2x}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x} \, dx$

步骤3：第一次变量替换
令$u = 2x$，则$du = 2 dx$，即$dx = \frac{du}{2}$，积分变为：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \frac{\sin u}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 u} \, du = \frac{1}{4} \int \frac{\sin u}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 u} \, du$
化简分母：
$1 - \frac{1}{2} \sin^2 u = \frac{2 - \sin^2 u}{2}$
积分进一步简化为：
$\frac{1}{4} \cdot 2 \int \frac{\sin u}{2 - \sin^2 u} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{\sin u}{2 - \sin^2 u} \, du$

步骤4：进一步化简分母
利用$\sin^2 u = 1 - \cos^2 u$，得：
$2 - \sin^2 u = 1 + \cos^2 u$
积分变为：
$\frac{1}{2} \int \frac{\sin u}{1 + \cos^2 u} \, du$

步骤5：第二次变量替换
令$t = \cos u$，则$dt = -\sin u \, du$，积分变为：
$\frac{1}{2} \int \frac{-dt}{1 + t^2} = -\frac{1}{2} \arctan t + C = -\frac{1}{2} \arctan(\cos u) + C$
将$u = 2x$代回，得最终结果：
$-\frac{1}{2} \arctan(\cos 2x) + C$