4． 考虑总体均值的 95．44％置信区间，已知总体服从正态分布且标准差为 10；要使得到的置信区间的半径不超过 1，需要的最小样本容量为()。[中山大学 2012 研、2011 研]A. 100B. 400C. 900D. 1600

考查要点：本题主要考查置信区间的计算，特别是如何根据给定的置信水平和边际误差确定最小样本容量。

解题核心思路：

1. 明确置信水平对应的z值：题目中置信水平为95.44%，对应标准正态分布中的双侧概率为95.44%，此时z值为2（因为正态分布中约95.44%的数据落在均值的±2个标准差范围内）。
2. 建立边际误差公式：边际误差（置信区间半径）公式为 $E = \frac{z \cdot \sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。
3. 代入已知条件求解：将已知的$E=1$、$\sigma=10$、$z=2$代入公式，解方程求出最小样本容量$n$。

破题关键点：

• 正确识别z值：95.44%的置信水平对应z=2，而非常见的95%对应的1.96。
• 公式变形求解：通过代数变形将公式转化为关于$n$的方程，注意平方运算的正确性。

步骤1：确定z值
题目中置信水平为95.44%，对应标准正态分布的双侧临界值为$z=2$（因为$\mu \pm 2\sigma$覆盖约95.44%的数据）。

步骤2：写出边际误差公式
边际误差（置信区间半径）公式为：
$E = \frac{z \cdot \sigma}{\sqrt{n}}$
其中，$\sigma=10$，$E=1$，$z=2$。

步骤3：代入已知条件求解$n$
将已知值代入公式：
$1 = \frac{2 \cdot 10}{\sqrt{n}}$
化简得：
$\sqrt{n} = \frac{2 \cdot 10}{1} = 20$
两边平方得：
$n = 20^2 = 400$

结论：最小样本容量为400，对应选项B。