1． (2016 年)设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则 D(XY)=()A. 6。B. 8。C. 14。D. 15。

考查要点：本题主要考查独立随机变量乘积的方差计算，涉及正态分布的性质及方差公式展开。

解题核心思路：

1. 利用独立性简化计算：由于X与Y独立，可将E(XY)和E(X²Y²)分解为各自期望的乘积。
2. 方差公式展开：通过方差定义式 $D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2$，结合正态分布的均值与方差计算各部分。

破题关键点：

• 正确识别正态分布参数：题目中N(1,2)和N(1,4)的第二个参数是方差，即D(X)=2，D(Y)=4。
• 独立变量的函数独立性：X²与Y²仍保持独立，从而分解计算E(X²Y²)。

步骤1：计算E(XY)和E(X²Y²)

• 由独立性，$E(XY) = E(X)E(Y) = 1 \times 1 = 1$。
• 由独立性，$E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2)$。

步骤2：计算E(X²)和E(Y²)

• 根据方差定义：
  $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 2 + 1^2 = 3$
  $E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = 4 + 1^2 = 5$

步骤3：代入方差公式
$\begin{aligned}D(XY) &= E[(XY)^2] - [E(XY)]^2 \\&= E(X^2Y^2) - (E(XY))^2 \\&= E(X^2)E(Y^2) - (1)^2 \\&= 3 \times 5 - 1 \\&= 14\end{aligned}$