题目

57.判断题（2分）在整理一组数值较大的观测数据时，减去80后，计算得标准差为0.113，则原观数据的标准差会发生变化（）bigcirc正确bigcirc错误

57.判断题（2分） 在整理一组数值较大的观测数据时，减去80后，计算得标准差为0.113，则原观数据的标准差会发生变化（） $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

标准差的计算公式为： $$ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} $$ 当每个数据减去常数（如80）时，新数据为 $x_i - 80$，新平均值为 $\bar{x} - 80$，但偏差 $(x_i - 80) - (\bar{x} - 80) = x_i - \bar{x}$ 不变。 因此，标准差保持不变，仍为0.113。 答案：$\boxed{\text{错误}}$

解析

标准差是衡量数据离散程度的指标，其计算依赖于数据与平均值的偏差平方的平均数。当每个数据减去一个常数时，虽然数据的绝对值发生变化，但数据之间的相对差异（偏差）保持不变。因此，标准差不会因数据的平移而改变。

  1. 原始数据与平移后的数据关系
    设原数据为 $x_1, x_2, \dots, x_n$，平移后数据为 $y_i = x_i - 80$。

    • 原平均值为 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$，平移后平均值为 $\bar{y} = \bar{x} - 80$。
    • 偏差计算：$y_i - \bar{y} = (x_i - 80) - (\bar{x} - 80) = x_i - \bar{x}$，与原偏差相同。

  2. 标准差的不变性
    标准差公式为 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}$。
    由于平移后偏差不变，平方偏差之和不变，因此标准差保持原值 $0.113$。