在直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 } x = (1 - cos 2theta)/(1 + cos 2theta) y = 2 tan theta ，求曲线 C 的直角坐标方程。请从下列选项中选出正确的方程（ ）。A y^2 = 4xB y^2 = xC x^2 = 4yD x^2 = y
在直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 $\begin{cases} x = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} \\ y = 2 \tan \theta \end{cases}$，求曲线 C 的直角坐标方程。请从下列选项中选出正确的方程（ ）。 A $y^2 = 4x$ B $y^2 = x$ C $x^2 = 4y$ D $x^2 = y$
题目解答
答案
我们已知曲线 $ C $ 的参数方程为：
$\begin{cases}x = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} \\y = 2 \tan \theta\end{cases}$
我们的目标是消去参数 $ \theta $，得到 $ x $ 和 $ y $ 之间的直角坐标方程。
第一步：化简 $ x $ 的表达式
我们从三角恒等式入手。
回忆：
- $ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta $
- $ \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 $
- $ \cos 2\theta = \dfrac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} $ （这个形式可能更有用）
我们尝试用 $ \tan\theta $ 来表示 $ x $，因为 $ y = 2\tan\theta $，所以我们可以令 $ t = \tan\theta $，然后将 $ x $ 用 $ t $ 表示。
第二步：用 $ \tan\theta $ 表示 $ \cos 2\theta $
利用恒等式：
$\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}$
令 $ t = \tan\theta $，则：
$\cos 2\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$
代入 $ x $ 的表达式：
$x = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \frac{1 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2}}{1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}}$
我们来化简分子和分母：
分子：
$1 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{(1 + t^2) - (1 - t^2)}{1 + t^2} = \frac{1 + t^2 - 1 + t^2}{1 + t^2} = \frac{2t^2}{1 + t^2}$
分母：
$1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{(1 + t^2) + (1 - t^2)}{1 + t^2} = \frac{1 + t^2 + 1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{2}{1 + t^2}$
所以，
$x = \frac{\frac{2t^2}{1 + t^2}}{\frac{2}{1 + t^2}} = \frac{2t^2}{1 + t^2} \cdot \frac{1 + t^2}{2} = t^2$
因此，我们得到：
$x = t^2$
而 $ y = 2t $，因为 $ y = 2 \tan\theta = 2t $
第三步：消去参数 $ t $
由 $ y = 2t $，得 $ t = \frac{y}{2} $
代入 $ x = t^2 $：
$x = \left( \frac{y}{2} \right)^2 = \frac{y^2}{4}$
两边乘以 4：
$4x = y^2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 4x$
第四步：选择正确选项
选项 A 是：$ y^2 = 4x $
✅ 答案：A
$\boxed{\text{A } y^2 = 4x}$
解析
本题考查参数方程化为直角坐标方程的知识，解题思路是通过三角函数的恒等变换，将参数方程中的参数 $\theta$ 消去，从而得到 $x$ 和 $y$ 之间的直角坐标方程。
- 首先，我们已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}x = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} \\y = 2 \tan \theta\end{cases}$。为了消去参数 $\theta$，我们尝试用 $\tan\theta$ 来表示 $x$，令 $t = \tan\theta$。
- 利用三角函数恒等式 $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}$，将其代入 $x$ 的表达式中：
- 把 $\cos 2\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ 代入 $x = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$，得到 $x = \frac{1 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2}}{1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}}$。
- 化简分子：$1 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{(1 + t^2) - (1 - t^2)}{1 + t^2} = \frac{1 + t^2 - 1 + t^2}{1 + t^2} = \frac{2t^2}{1 + t^2}$。
- 化简分母：$1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{(1 + t^2) + (1 - t^2)}{1 + t^2} = \frac{1 + t^2 + 1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{2}{1 + t^2}$。
- 所以 $x = \frac{\frac{2t^2}{1 + t^2}}{\frac{2}{1 + t^2}} = \frac{2t^2}{1 + t^2} \cdot \frac{1 + t^2}{2} = t^2$。
- 因为 $y = 2\tan\theta = 2t$，由 $y = 2t$ 可得 $t = \frac{y}{2}$。
- 将 $t = \frac{y}{2}$ 代入 $x = t^2$ 中，得到 $x = (\frac{y}{2})^2 = \frac{y^2}{4}$。
- 两边同时乘以 4，得到 $4x = y^2$，即 $y^2 = 4x$。