题目
三、解答与证明题-|||-1.设总体X具有分布律:-|||-X 1 2 3-|||-p θ θ .https:/img.zuoyebang.cc/zyb_dfbb82076b718c29050d093748335c05.jpg-20-|||-其中 theta gt 0 且未知,今有样本(1,1,1,3,2,1,3,2,2,1,2,2,3,1,1,2 ),求θ的-|||-矩估计值以及最大似然估计值.
题目解答
答案
最佳答案
解析
考查要点：本题主要考查矩估计法和最大似然估计法的应用，需要结合离散型总体的分布律进行求解。
解题核心思路：
- 矩估计：利用样本均值估计总体均值，通过建立方程求解θ。
- 最大似然估计：构造似然函数，通过对数转换求导找到使概率最大的θ值。
破题关键点：
- 分布律验证：确认概率之和为1，即$\theta + \theta + (1-2\theta) = 1$。
- 样本统计：正确统计样本中各取值的频数。
- 方程求解：矩估计中通过总体均值与样本均值相等建立方程；最大似然估计通过对数似然函数求导求极值。
矩估计值
- 计算总体均值：
总体均值$E(X) = 1 \cdot \theta + 2 \cdot \theta + 3 \cdot (1-2\theta) = 3 - 3\theta$。 - 计算样本均值：
样本中$X=1$出现7次，$X=2$出现6次，$X=3$出现3次，样本均值为：
$\bar{X} = \frac{1 \cdot 7 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3}{16} = \frac{28}{16} = \frac{7}{4}.$ - 建立方程：
令总体均值等于样本均值，即$3 - 3\theta = \frac{7}{4}$，解得$\hat{\theta} = \frac{5}{12}$。
最大似然估计值
- 构造似然函数：
样本出现的概率乘积为：
$L(\theta) = \theta^7 \cdot \theta^6 \cdot (1-2\theta)^3 = \theta^{13} (1-2\theta)^3.$ - 对数似然函数：
$\ln L(\theta) = 13 \ln \theta + 3 \ln (1-2\theta).$ - 求导并解方程：
对$\theta$求导并令导数为0：
$\frac{13}{\theta} - \frac{6}{1-2\theta} = 0 \implies 13(1-2\theta) = 6\theta \implies \theta = \frac{13}{32}.$ - 验证有效性：
$\theta = \frac{13}{32}$满足$\theta > 0$且$1-2\theta = \frac{3}{16} > 0$，有效。