题目

15.(13分)设 Delta ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (b+a)(sin angle ADC--|||-sin angle BAC)=c(sin angle ABC-sin C), BC.AC边上的两条中线AD.BE相交于点P.-|||-(1)求 angle BAC;-|||-(2)若 =sqrt (7) =2, cos angle DPE=dfrac (sqrt {7)}(14), 求 Delta ABC 的面积.

题目解答

答案

本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养.(1)由正弦定理将角化为边,再由余弦定理求出cos∠BAC的值,结合角的范围即可求解;(2)由重心的性质及余弦定理求出AB,BC的长,再由三角形的面积公式即可求解.解:(1)由(b+a)(sin∠ABC-sin∠BAC)=c(sin∠ABC-sinC)及正弦定理得(b+a)(b-a)=c(b-c),即$b^{2}+c^{2}-a^{2}=bc$,(2分)由余弦定理得cos∠$BAC=b^{2}+c^{2}-a^{2}=\frac {1}{2}$,(4分)∵0<∠BAC<π,∴∠BAC=π/3.(5分)(2)∵AD,BE为△ABC的中线,∴点P为△ABC的重心,(6分)∴AP=2/3AD=2$\sqrt {7}$,BP=2/3BE=4/3.(7分)在△ABP中,由余弦定理得$BP^{2}=AB^{2}+AP^{2}-2AB$·APcos∠BAP,即$\frac {16}{9}=AB^{2}+\frac {28}{3}-2AB\times 2\sqrt {7}$×$\sqrt {7}$/14,解得AB=2或AB=8/3.(9分)当AB=2时,在△ABD中,$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2AB$·ADcos∠BAD=4+7-2×2×$\sqrt {7}$×$\sqrt {7}$/14=9,∴BD=3,∴BC=6,(10分)由余弦定理得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB$·BCcos∠ABC=4+36-2×2×6×1/2=28,∴AC=2$\sqrt {7}$,(11分)∴△ABC的面积S=1/2AB·BCsin∠ABC=1/2×2×6×$\sqrt {3}$/2=3$\sqrt {3}$.(13分)当AB=8/3时,在△ABD中,$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2AB$·ADcos∠BAD=64/9+7-2×8/3×$\sqrt {7}$×$\sqrt {7}$/14=49/9,∴BD=7/3,∴BC=14/3,由余弦定理得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB$·BCcos∠ABC=64/9+196/9-2×8/3×14/3×1/2=484/9,∴AC=22/3,此时AB+BC(1)π/3(2)3$\sqrt {3}$

解析

考查要点：本题综合考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及重心性质，重点在于将角的关系转化为边的关系，并利用几何性质求解。

解题思路：

  1. 第一问：利用正弦定理将题目中的角转化为边，结合余弦定理求出$\cos \angle BAC$，最终确定角度值。
  2. 第二问：利用重心性质确定中线比例关系，通过余弦定理建立方程求解边长，最后结合面积公式计算。

破题关键：

  • 正弦定理与余弦定理的灵活转换：将角的正弦差转化为边的代数关系。
  • 重心性质的应用：中线交点分中线为$2:1$的比例。
  • 分类讨论：第二问中需验证两种可能解的合理性。

第（1）题

应用正弦定理转化角关系

由正弦定理，$\sin \angle ABC = \frac{b}{2R}$，$\sin \angle BAC = \frac{a}{2R}$，$\sin C = \frac{c}{2R}$。代入原式：
$(b + a)\left(\frac{b}{2R} - \frac{a}{2R}\right) = c\left(\frac{b}{2R} - \frac{c}{2R}\right)$
化简得：
$b^2 - a^2 = bc - c^2 \implies b^2 + c^2 - a^2 = bc$

应用余弦定理求角度

由余弦定理：
$\cos \angle BAC = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$
因此$\angle BAC = \frac{\pi}{3}$。

第（2）题

利用重心性质确定线段比例

点$P$为重心，故$AP = \frac{2}{3}AD = \frac{2\sqrt{7}}{3}$，$BP = \frac{2}{3}BE = \frac{4}{3}$。

在$\triangle ABP$中应用余弦定理

由余弦定理：
$BP^2 = AB^2 + AP^2 - 2 \cdot AB \cdot AP \cdot \cos \angle DPE$
代入已知值：
$\left(\frac{4}{3}\right)^2 = AB^2 + \left(\frac{2\sqrt{7}}{3}\right)^2 - 2 \cdot AB \cdot \frac{2\sqrt{7}}{3} \cdot \frac{\sqrt{7}}{14}$
化简得方程：
$\frac{16}{9} = AB^2 + \frac{28}{9} - \frac{2AB}{3}$
解得$AB = 2$或$AB = \frac{8}{3}$。

分情况讨论边长与面积

  1. 当$AB = 2$时：

    • 在$\triangle ABD$中，$BD = 3$，故$BC = 6$。
    • 由余弦定理求$AC = 2\sqrt{7}$。
    • 面积$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 3\sqrt{3}$。

  2. 当$AB = \frac{8}{3}$时：

    • 计算得$AC = \frac{22}{3}$，但此时三角形不满足其他条件，舍去。