题目
4.设X_(1),X_(2),...,X_(n)是取自总体X的样本，且总体方差sigma^2存在，则B_(2)=(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2是sigma^2的______有偏______估计量.(填无偏或有偏).
4.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是取自总体X的样本，且总体方差$\sigma^{2}$存在，则$B_{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$是$\sigma^{2}$的______有偏______估计量.(填无偏或有偏).
题目解答
答案
设 $ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $ 为样本方差，已知 $ E(S^2) = \sigma^2 $。
则 $ B_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = \frac{n-1}{n} S^2 $。
计算期望值：
\[ E(B_2) = E\left( \frac{n-1}{n} S^2 \right) = \frac{n-1}{n} E(S^2) = \frac{n-1}{n} \sigma^2 \neq \sigma^2 \quad (\text{对于 } n > 1)。 \]
因此，$ B_2 $ 是 $\sigma^2$ 的有偏估计量。
答案：$\boxed{\text{有偏}}$
解析
考查要点：本题主要考查样本方差的无偏性，即判断给定的估计量是否为总体方差的无偏估计量。
解题核心思路：
- 明确无偏估计的定义：估计量的期望等于被估计的参数。
- 建立给定估计量与已知无偏估计量的关系：题目中已给出样本方差$S^2$是无偏估计量，需将$B_2$与$S^2$联系起来。
- 计算$B_2$的期望：通过推导发现$B_2$的期望与$\sigma^2$的关系，从而判断其有偏或无偏。
破题关键点：
- 分母调整的影响：分母为$n-1$时样本方差无偏，分母为$n$时会引入偏差。
步骤1：关联已知无偏估计量
已知样本方差$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$是$\sigma^2$的无偏估计量，即$E(S^2) = \sigma^2$。
步骤2：表达$B_2$与$S^2$的关系
题目中$B_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，可改写为：
$B_2 = \frac{n-1}{n} S^2$
步骤3：计算$B_2$的期望
利用期望的线性性质：
$E(B_2) = E\left( \frac{n-1}{n} S^2 \right) = \frac{n-1}{n} E(S^2) = \frac{n-1}{n} \sigma^2$
步骤4：判断无偏性
由于$\frac{n-1}{n} \sigma^2 \neq \sigma^2$（当$n > 1$时），故$B_2$的期望不等于$\sigma^2$，因此$B_2$是有偏估计量。