题目
4、有一批梧桐树苗，其中90%的高度不低于3米。现从树苗中随机地取出300株，问其中至少有30株低于3米的概率.（已知Phi(0)=0.5，Phi(2.5)=0.9772，Phi(3)=0.9987根据需要选用.）
4、有一批梧桐树苗，其中90%的高度不低于3米。现从树苗中随机地取出300株，问其中至少有30株低于3米的概率.
（已知$\Phi(0)=0.5$，$\Phi(2.5)=0.9772$，$\Phi(3)=0.9987$根据需要选用.）
题目解答
答案
设 $X$ 为低于3米的树苗数，$X$ 服从二项分布 $B(300, 0.1)$。期望值 $\mu = np = 30$，方差 $\sigma^2 = np(1-p) = 27$，标准差 $\sigma = \sqrt{27} \approx 5.196$。
利用正态近似（不进行连续性校正），将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z$：
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 30}{5.196}.
\]
求 $P(X \geq 30)$：
\[
P(X \geq 30) = P\left(Z \geq \frac{30 - 30}{5.196}\right) = P(Z \geq 0) = 0.5.
\]
**答案：** $\boxed{0.5}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X$ 为低于3米的树苗数，$X$ 服从二项分布 $B(300, 0.1)$，其中 $n=300$，$p=0.1$。
步骤 2：计算期望值和方差
期望值 $\mu = np = 300 \times 0.1 = 30$，方差 $\sigma^2 = np(1-p) = 300 \times 0.1 \times 0.9 = 27$，标准差 $\sigma = \sqrt{27} \approx 5.196$。
步骤 3：利用正态近似
将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z$：\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 30}{5.196}. \]
步骤 4：计算概率
求 $P(X \geq 30)$：\[ P(X \geq 30) = P\left(Z \geq \frac{30 - 30}{5.196}\right) = P(Z \geq 0) = 0.5. \]
设 $X$ 为低于3米的树苗数，$X$ 服从二项分布 $B(300, 0.1)$，其中 $n=300$，$p=0.1$。
步骤 2：计算期望值和方差
期望值 $\mu = np = 300 \times 0.1 = 30$，方差 $\sigma^2 = np(1-p) = 300 \times 0.1 \times 0.9 = 27$，标准差 $\sigma = \sqrt{27} \approx 5.196$。
步骤 3：利用正态近似
将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z$：\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 30}{5.196}. \]
步骤 4：计算概率
求 $P(X \geq 30)$：\[ P(X \geq 30) = P\left(Z \geq \frac{30 - 30}{5.196}\right) = P(Z \geq 0) = 0.5. \]