题目
求微分方程xy’-y=2007x2满足初始条件y｜x=1=2008的特解．
求微分方程xy’-y=2007x2满足初始条件y｜x=1=2008的特解．
题目解答
答案
将原方程化为：
，
则这是一阶线性非齐次常微分方程标准形式，通解为
又y｜x=1=2008，代入，解得C=1，所以所求特解为y=x(2007x+1)．
，
则这是一阶线性非齐次常微分方程标准形式，通解为
又y｜x=1=2008，代入，解得C=1，所以所求特解为y=x(2007x+1)．解析
步骤 1：将原方程化为标准形式
原方程为 $xy^{'}-y=2007x^{2}$，将其化为一阶线性非齐次常微分方程的标准形式，即 $y^{'}+P(x)y=Q(x)$。为此，我们首先将方程两边同时除以 $x$，得到 $y^{'}-\dfrac{1}{x}y=2007x$。
步骤 2：求解一阶线性非齐次常微分方程
对于一阶线性非齐次常微分方程 $y^{'}+P(x)y=Q(x)$，其通解公式为 $y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$。将 $P(x)=-\dfrac{1}{x}$ 和 $Q(x)=2007x$ 代入，得到 $y=e^{\int \dfrac{1}{x}dx}[\int 2007xe^{-\int \dfrac{1}{x}dx}dx+C]$。
步骤 3：计算积分并求出通解
计算积分 $\int \dfrac{1}{x}dx=\ln|x|$，则 $e^{\int \dfrac{1}{x}dx}=e^{\ln|x|}=x$。再计算 $\int 2007xe^{-\int \dfrac{1}{x}dx}dx=\int 2007x\cdot \dfrac{1}{x}dx=\int 2007dx=2007x+C$。因此，通解为 $y=x(2007x+C)$。
步骤 4：应用初始条件求特解
将初始条件 $y|_{x=1}=2008$ 代入通解 $y=x(2007x+C)$，得到 $2008=1(2007\cdot 1+C)$，解得 $C=1$。因此，特解为 $y=x(2007x+1)$。
原方程为 $xy^{'}-y=2007x^{2}$，将其化为一阶线性非齐次常微分方程的标准形式，即 $y^{'}+P(x)y=Q(x)$。为此，我们首先将方程两边同时除以 $x$，得到 $y^{'}-\dfrac{1}{x}y=2007x$。
步骤 2：求解一阶线性非齐次常微分方程
对于一阶线性非齐次常微分方程 $y^{'}+P(x)y=Q(x)$，其通解公式为 $y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$。将 $P(x)=-\dfrac{1}{x}$ 和 $Q(x)=2007x$ 代入，得到 $y=e^{\int \dfrac{1}{x}dx}[\int 2007xe^{-\int \dfrac{1}{x}dx}dx+C]$。
步骤 3：计算积分并求出通解
计算积分 $\int \dfrac{1}{x}dx=\ln|x|$，则 $e^{\int \dfrac{1}{x}dx}=e^{\ln|x|}=x$。再计算 $\int 2007xe^{-\int \dfrac{1}{x}dx}dx=\int 2007x\cdot \dfrac{1}{x}dx=\int 2007dx=2007x+C$。因此，通解为 $y=x(2007x+C)$。
步骤 4：应用初始条件求特解
将初始条件 $y|_{x=1}=2008$ 代入通解 $y=x(2007x+C)$，得到 $2008=1(2007\cdot 1+C)$，解得 $C=1$。因此，特解为 $y=x(2007x+1)$。