题目
设 X~N ( 1 , 4 ) ，求P ( 0 < X < 1.5 ) , P ( |X-1|leqslant 2 ) , P ( X > 3 )
设 X~N ( 1 , 4 ) ，求P { 0 < X < 1.5 } , P { 
} , P { X > 3 }
题目解答
答案
由题意可知X~N ( 1 , 4 ) 得随机变量为对称轴为1的正态分布，u=1，
=4，
∴P { 0 < X < 1.5 }=P { -0.5< 
< 0.25 }=
=0.599+0.691-1=0.29
P { }=P { -1≤ ≤ 1 }=
P { X > 3 }=P { 
1 }=
解析
步骤 1：确定正态分布参数
由题意可知，随机变量X服从均值为1，方差为4的正态分布，即X~N(1, 4)。因此，标准差σ=√4=2。
步骤 2：计算P { 0 < X < 1.5 }
为了计算这个概率，我们需要将X的值转换为标准正态分布的Z值。Z值的计算公式为Z=(X-μ)/σ，其中μ是均值，σ是标准差。
对于X=0，Z=(0-1)/2=-0.5。
对于X=1.5，Z=(1.5-1)/2=0.25。
因此，P { 0 < X < 1.5 }=P { -0.5 < Z < 0.25 }。
根据标准正态分布表，P { Z < 0.25 }=0.5987，P { Z < -0.5 }=0.3085。
所以，P { 0 < X < 1.5 }=0.5987-0.3085=0.2902。
步骤 3：计算P { $|X-1|\leqslant 2$ }
这个概率表示X在均值1的两侧各2个标准差内的概率。即P { -1≤ $\dfrac {x-1}{2}$ ≤ 1 }。
根据标准正态分布表，P { Z < 1 }=0.8413，P { Z < -1 }=0.1587。
所以，P { $|X-1|\leqslant 2$ }=P { -1≤ $\dfrac {x-1}{2}$ ≤ 1 }=0.8413-0.1587=0.6826。
步骤 4：计算P { X > 3 }
对于X=3，Z=(3-1)/2=1。
因此，P { X > 3 }=P { Z > 1 }=1-P { Z < 1 }=1-0.8413=0.1587。
由题意可知，随机变量X服从均值为1，方差为4的正态分布，即X~N(1, 4)。因此，标准差σ=√4=2。
步骤 2：计算P { 0 < X < 1.5 }
为了计算这个概率，我们需要将X的值转换为标准正态分布的Z值。Z值的计算公式为Z=(X-μ)/σ，其中μ是均值，σ是标准差。
对于X=0，Z=(0-1)/2=-0.5。
对于X=1.5，Z=(1.5-1)/2=0.25。
因此，P { 0 < X < 1.5 }=P { -0.5 < Z < 0.25 }。
根据标准正态分布表，P { Z < 0.25 }=0.5987，P { Z < -0.5 }=0.3085。
所以，P { 0 < X < 1.5 }=0.5987-0.3085=0.2902。
步骤 3：计算P { $|X-1|\leqslant 2$ }
这个概率表示X在均值1的两侧各2个标准差内的概率。即P { -1≤ $\dfrac {x-1}{2}$ ≤ 1 }。
根据标准正态分布表，P { Z < 1 }=0.8413，P { Z < -1 }=0.1587。
所以，P { $|X-1|\leqslant 2$ }=P { -1≤ $\dfrac {x-1}{2}$ ≤ 1 }=0.8413-0.1587=0.6826。
步骤 4：计算P { X > 3 }
对于X=3，Z=(3-1)/2=1。
因此，P { X > 3 }=P { Z > 1 }=1-P { Z < 1 }=1-0.8413=0.1587。