题目
设总体 approx N(mu ,(sigma )^2), σ^2未知.为使总体均值μ的置信度为 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_bf9663ce2359017be1c4a8136f12abe3.jpg-a 的置信区-|||-间的长度不大于L,则样本容量至少应取 __ (只需给出表达式).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定置信区间
总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，σ^2未知，因此使用t分布来构造置信区间。总体均值μ的置信度为 $1-a$ 的置信区间为 $(\overline {X}-\dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1),\overline {X}+\dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1))$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量，${t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的t分布的上 $\dfrac {a}{2}$ 分位数。
步骤 2：计算置信区间的长度
置信区间的长度为 $L = 2 \times \dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$。为了使置信区间的长度不大于L，即 $L \leqslant 2 \times \dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$。
步骤 3：求解样本容量
将不等式 $L \leqslant 2 \times \dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$ 转换为 $n$ 的表达式，得到 $n \geqslant \dfrac {4{s}^{2}}{{L}^{2}}{{t}_{\dfrac {a}{2}}^{2}}(n-1) + 1$。由于 ${t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$ 随着 $n$ 的增加而减小，因此可以近似地将 ${t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$ 替换为 ${t}_{\dfrac {a}{2}}(\infty)$，即标准正态分布的上 $\dfrac {a}{2}$ 分位数，从而得到 $n \geqslant \dfrac {4{s}^{2}}{{L}^{2}}{{t}_{\dfrac {a}{2}}^{2}}(\infty) + 1$。
总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，σ^2未知，因此使用t分布来构造置信区间。总体均值μ的置信度为 $1-a$ 的置信区间为 $(\overline {X}-\dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1),\overline {X}+\dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1))$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量，${t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的t分布的上 $\dfrac {a}{2}$ 分位数。
步骤 2：计算置信区间的长度
置信区间的长度为 $L = 2 \times \dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$。为了使置信区间的长度不大于L，即 $L \leqslant 2 \times \dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$。
步骤 3：求解样本容量
将不等式 $L \leqslant 2 \times \dfrac {s}{\sqrt {n}}{t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$ 转换为 $n$ 的表达式，得到 $n \geqslant \dfrac {4{s}^{2}}{{L}^{2}}{{t}_{\dfrac {a}{2}}^{2}}(n-1) + 1$。由于 ${t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$ 随着 $n$ 的增加而减小，因此可以近似地将 ${t}_{\dfrac {a}{2}}(n-1)$ 替换为 ${t}_{\dfrac {a}{2}}(\infty)$，即标准正态分布的上 $\dfrac {a}{2}$ 分位数，从而得到 $n \geqslant \dfrac {4{s}^{2}}{{L}^{2}}{{t}_{\dfrac {a}{2}}^{2}}(\infty) + 1$。