题目

2.16 表 2-8 是1985年美国50个州和哥伦比亚特区公立学校中教师的人均年工资-|||-y(美元)和对学生的人均经费投入x(美元)。-|||-序号 y x 序号 y x 序号 y x-|||-1 19 583 3346 18 20816 3059 35 19 538 2642-|||-2 20 263 3114 19 18095 2967 36 20 460 3124-|||-3 20 325 3554 20 20 939 3285 37 21 419 2752-|||-4 26 800 4542 21 22 644 3914 38 25160 3429-|||-5 29 470 4 669 22 24 624 4517 39 22 482 3947-|||-6 26610 4888 23 27 186 4 349 40 20 969 2509-|||-7 30 678 5710 24 33 990 5020 41 27 224 5440-|||-8 27 170 5536 25 23 382 3594 42 25 892 4042-|||-序号-|||-18-|||-19-|||-20-|||-21-|||-22-|||-23-|||-24-|||-25-|||-26-|||-27-|||-28-|||-29-|||-30-|||-31-|||-32-|||-33-|||-x-|||-3059-|||-2967-|||-3285-|||-3914-|||-4517-|||-4 349-|||-5020-|||-3594-|||-2821-|||-3366-|||-2920-|||-2980-|||-3731-|||-2853-|||-2533-|||-2729-|||-序号-|||-35-|||-36-|||-37-|||-38-|||-39-|||-40-|||-41-|||-42-|||-43-|||-44-|||-45-|||-46-|||-47-|||-48-|||-49-|||-50-|||-51-|||-9 25 853 4168 26 20 627 2821 43 22 644 3402-|||-10 24 500 3547 27 22 795 3366 44 24 640 2829-|||-11 24 274 3159 28 21570 2920 45 22 341 2297-|||-12 27 170 3621 29 22080 2980 46 25610 2932-|||-13 30 168 3782 30 22250 3731 47 26015 3705-|||-14 26 525 4 247 31 20 940 2853 48 25 788 4123-|||-15 27 360 3982 32 21 800 2533 49 29132 3608-|||-16 21 690 3568 33 22 934 2729 50 41 480 8349-|||-17 21 974 3155 34 18443 2305 51 25 845 3766-|||-(1)绘制y对x的散点图。可以用直线回归描述两者之间的关系吗?-|||-(2)建立y对x的线性回归。-|||-(3)用线性回归的Plots功能绘制标准化残差的直方图和正态概率图,检验误差项的-|||-正态性假设。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查线性回归分析的基本流程，包括散点图观察、回归模型建立及残差诊断。

解题思路：

  1. 散点图分析：通过散点图直观判断变量间是否存在线性关系，若点分布大致呈直线趋势，则可用直线回归。
  2. 回归方程建立：利用最小二乘法计算回归系数，得到预测模型。
  3. 残差诊断：通过标准化残差的直方图和正态概率图，检验误差项是否服从正态分布，验证模型假设。

关键点：

  • 散点图趋势决定是否适用线性回归。
  • 回归系数计算需掌握最小二乘法原理或软件操作。
  • 残差分析需结合图形判断正态性，即使存在轻微偏态，若概率图接近直线仍可接受。

第（1）题

绘制散点图：

  • 将x（人均经费）作为横轴，y（目标变量）作为纵轴，绘制所有数据点。
  • 观察结果：若点大致沿直线方向分布，则可用直线回归。

第（2）题

建立线性回归模型：

  1. 计算回归系数：
    • 斜率$b$：$b = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}$
    • 截距$a$：$a = \frac{\sum y - b \sum x}{n}$
    • 代入数据得：$\hat{y} = 12112.6 + 3.314x$

第（3）题

残差诊断：

  1. 标准化残差直方图：
    • 图形略呈右偏，提示残差可能非完全正态。
  2. 正态概率图：
    • 残差点大致沿45°直线分布，支持误差项近似正态。
    • 综合判断：虽有轻微偏态，但概率图趋势合理，可接受正态假设。