八、设某机器生产的零件长度（单位：cm）Xsim N(mu,sigma^2)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值overline(x)=10，样本方差s^2=0.16.（1）求mu的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H_(0)：sigma^2leq0.1（显著性水平为0.05）.（附注）t_(0.05)(16)=1.746，t_(0.05)(15)=1.753，t_(0.025)(15)=2.132，chi_(0.05)^2(16)=26.296，chi_(0.05)^2(15)=24.996，chi_(0.025)^2(15)=27.488.

本题主要考查正态总体均值和方差的区间估计与假设检验相关知识。解题思路如下：

（1）求$\mu$的置信度为$0.95$的置信区间

当总体方差$\sigma^{2}$未知时，求正态总体均值$\mu$的置信区间，需要使用$t$分布。

• 首先明确$t$分布下$\mu$的置信区间公式为$\left( \overline{x} - t_{\alpha/2}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\alpha/2}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}} \right)$，其中$\overline{x}$是样本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量，$t_{\alpha/2}(n - 1)$是自由度为$n - 1$的$t$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点。
• 已知样本容量$n = 16$，样本均值$\overline{x}=10$，样本方差$s^{2}=0.16$，则样本标准差$s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{0.16} = 0.4$。
• 置信度为$0.95$，则$\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，自由度$n - 1 = 16 - 1 = 15$，查附注可得$t_{0.025}(15) = 2.132$。
• 计算$\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0.4}{\sqrt{16}}=\frac{0.4}{4}=0.1$。
• 将上述值代入置信区间公式可得：
  $\overline{x} - t_{\alpha/2}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}}=10 - 2.132\times0.1 = 10 - 0.2132 = 9.7868$
  $\overline{x} + t_{\alpha/2}(n - 1)\frac{s}{\sqrt{n}}=10 + 2.132\times0.1 = 10 + 0.2132 = 10.2132$
  所以$\mu$的置信度为$0.95$的置信区间为$(9.7868, 10.2132)$。

（2）检验假设$H_{0}：\sigma^{2}\leq0.1$（显著性水平为$0.05$）

对于正态总体方差的假设检验，使用$\chi^{2}$分布。

• 原假设$H_{0}：\sigma^{2}\leq0.1$，备择假设$H_{1}：\sigma^{2}>0.1$。
• 检验统计量为$\chi^{2}=\frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}$，其中$\sigma_{0}^{2}=0.1$，$n = 16$，$s^{2}=0.16$。
• 计算检验统计量的值：$\chi^{2}=\frac{(16 - 1)\times0.16}{0.1}=\frac{15\times0.16}{0.1}=24$。
• 确定拒绝域：在显著性水平$\alpha = 0.05$下，自由度为$n - 1 = 15$，查附注可得$\chi_{0.05}^{2}(15) = 24.996$，拒绝域为$\chi^{2}\geq\chi_{0.05}^{2}(15)=24.996$。
• 比较检验统计量的值和拒绝域：因为$24<24.996$，所以不落在拒绝域内，接受原假设$H_{0}$。