题目
设X_1, X_2, ..., X_n是取自总体X的一个简单随机样本，则（） overline(X) = EX E(overline(X))= EX overline(X) = (1)/(n)EX overline(X) = EX
设$X_1, X_2, \cdots, X_n$是取自总体$X$的一个简单随机样本，则（）
$\overline{X} = EX$
$E\left(\overline{X}\right)= EX$
$\overline{X} = \frac{1}{n}EX$
$\overline{X} = EX$
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要理解样本均值$\overline{X}$的性质以及期望值的性质。让我们从定义样本均值$\overline{X}$开始：
\[
\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
\]
其中$X_1, X_2, \ldots, X_n$是取自总体$X$的一个简单随机样本。样本均值$\overline{X}$的期望值由下式给出：
\[
E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot E(X) = E(X)
\]
因此，我们有$E(\overline{X}) = E(X)$。现在，让我们分析给出的每个选项：
(1) $\overline{X} - E\overline{X}$
由于$E(\overline{X}) = E(X)$，我们可以将$E(X)$写为$E(\overline{X})$。因此，这个表达式变为$\overline{X} - E(\overline{X})$，这是样本均值与其期望值的偏差。这是一个随机变量，不是常数。
(2) $E(\overline{X}) - E\overline{X}$
这个表达式是$E(\overline{X}) - E(\overline{X}) = 0$，这是一个常数。
(3) $\overline{X} - \frac{1}{n}E\overline{X}$
由于$E(\overline{X}) = E(X)$，这个表达式变为$\overline{X} - \frac{1}{n}E(X)$。这是一个随机变量，不是常数。
(4) $\overline{X} = E\overline{X}$
这个表达式表明样本均值等于其期望值，这通常不成立，因为$\overline{X}$是一个随机变量，而$E(\overline{X})$是一个常数。
从分析中，唯一简化为常数（具体为零）的表达式是选项(2)。因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
本题考查样本均值的性质以及期望值的性质。解题的关键在于明确样本均值$\overline{X}$的定义，以及利用期望的线性性质来推导$E(\overline{X})$与总体期望$E(X)$的关系，然后据此分析各个选项。
- 首先明确样本均值$\overline{X}$的定义：
- 样本均值$\overline{X}$的计算公式为$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，其中$X_1,X_2,\cdots,X_n$是取自总体$X$的一个简单随机样本。
- 然后计算样本均值$\overline{X}$的期望$E(\overline{X})$：
- 根据期望的线性性质$E(aY + bZ)=aE(Y)+bE(Z)$（$a,b$为常数，$Y,Z$为随机变量），对于$E(\overline{X})$有：
- $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\right)$。
- 因为$\frac{1}{n}$是常数，所以$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n}E\left(\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\right)$。
- 又因为期望的和等于和的期望，即$E\left(\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\right)=\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})$。
- 由于$X_1,X_2,\cdots,X_n$是取自总体$X$的简单随机样本，所以$E(X_{i}) = E(X)$（$i = 1,2,\cdots,n$），那么$\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}E(X)=nE(X)$。
- 综上可得$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\cdot nE(X)=E(X)$。
- 根据期望的线性性质$E(aY + bZ)=aE(Y)+bE(Z)$（$a,b$为常数，$Y,Z$为随机变量），对于$E(\overline{X})$有：
- 接着分析各个选项：
- 选项A：$\overline{X}-E\overline{X}$，因为$E(\overline{X}) = E(X)$，所以该式变为$\overline{X}-E(\overline{X})$，它是样本均值与其期望值的偏差，是一个随机变量，不是常数。
- 选项B：$E(\overline{X})-E\overline{X}$，显然$E(\overline{X})-E(\overline{X}) = 0$，这是一个常数。
- 选项C：$\overline{X}-\frac{1}{n}E\overline{X}$，由于$E(\overline{X}) = E(X)$，该式变为$\overline{X}-\frac{1}{n}E(X)$，是一个随机变量，不是常数。
- 选项D：$\overline{X}=E\overline{X}$，样本均值$\overline{X}$是随机变量，而$E(\overline{X})$是常数，通常情况下二者不相等。