题目
4.设某种零件的电阻服从正态分布，平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62Ω，假设改变工艺前后电阻的标准差均保持在0.06Ω，问：新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05,Z_(0.025)=1.96).
4.设某种零件的电阻服从正态分布，平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62Ω，假设改变工艺前后电阻的标准差均保持在0.06Ω，问：新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05,Z_{0.025}=1.96).
题目解答
答案
**解：**
1. **建立假设：**
$H_0: \mu = 2.64$（无显著影响），$H_1: \mu \neq 2.64$（有显著影响）。
2. **计算检验统计量：**
\[
Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{2.62 - 2.64}{0.06 / \sqrt{100}} = -3.33
\]
3. **确定拒绝域：**
对于 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $z_{0.025} = 1.96$，拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
4. **比较并结论：**
$|Z| = 3.33 > 1.96$，落在拒绝域内，拒绝 $H_0$。
**答案：**
以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响。
解析
步骤 1：建立假设
- 原假设 $H_0: \mu = 2.64$（新工艺对零件电阻无显著影响）。
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 2.64$（新工艺对零件电阻有显著影响）。
步骤 2：计算检验统计量
- 样本平均电阻 $\overline{x} = 2.62$Ω。
- 假设的总体平均电阻 $\mu_0 = 2.64$Ω。
- 标准差 $\sigma = 0.06$Ω。
- 样本容量 $n = 100$。
- 计算检验统计量 $Z$：\[ Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{2.62 - 2.64}{0.06 / \sqrt{100}} = \frac{-0.02}{0.06 / 10} = \frac{-0.02}{0.006} = -3.33 \]
步骤 3：确定拒绝域
- 对于 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $z_{0.025} = 1.96$。
- 拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
步骤 4：比较并结论
- 比较计算出的检验统计量 $Z = -3.33$ 与临界值 $1.96$。
- $|Z| = 3.33 > 1.96$，落在拒绝域内，因此拒绝原假设 $H_0$。
- 原假设 $H_0: \mu = 2.64$（新工艺对零件电阻无显著影响）。
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 2.64$（新工艺对零件电阻有显著影响）。
步骤 2：计算检验统计量
- 样本平均电阻 $\overline{x} = 2.62$Ω。
- 假设的总体平均电阻 $\mu_0 = 2.64$Ω。
- 标准差 $\sigma = 0.06$Ω。
- 样本容量 $n = 100$。
- 计算检验统计量 $Z$：\[ Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{2.62 - 2.64}{0.06 / \sqrt{100}} = \frac{-0.02}{0.06 / 10} = \frac{-0.02}{0.006} = -3.33 \]
步骤 3：确定拒绝域
- 对于 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值为 $z_{0.025} = 1.96$。
- 拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
步骤 4：比较并结论
- 比较计算出的检验统计量 $Z = -3.33$ 与临界值 $1.96$。
- $|Z| = 3.33 > 1.96$，落在拒绝域内，因此拒绝原假设 $H_0$。