题目
设总体approx N(mu ,1) 其中approx N(mu ,1) 未知，如果取得样本为approx N(mu ,1)，则以下估计中最有效的是 . A approx N(mu ,1).Bapprox N(mu ,1).C approx N(mu ,1).D approx N(mu ,1).
设总体
其中
未知，如果取得样本为
，则以下估计中最有效的是 .
A 
.
B
.
C 
.
D 
.
题目解答
答案
估计量的有效性的判定方法：在同一抽样方案下，对某一总体参数如果有两个估量值，方差越小的估计参数的效率越高，越有效。
题目已知总体 ，取得样本为，则可得
则根据方差公式可得：
选项A:
.
选项B:
.
选项C:
.
选项D:
.
则可得
故根据上述估计量的有效性的判定方法即可得.的估计最有效
故本题答案选B
解析
步骤 1：计算每个估计量的方差
由于总体$X\sim N(\mu ,1)$，样本$X_1, X_2, X_3$相互独立，且$D(X_i) = 1$，我们可以计算每个估计量的方差。
步骤 2：计算选项A的方差
$D(\hat{x}_2) = D\left(\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{4} + \frac{X_3}{4}\right) = \frac{1}{4}D(X_1) + \frac{1}{16}D(X_2) + \frac{1}{16}D(X_3) = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{8}$
步骤 3：计算选项B的方差
$D(\hat{3}_3) = D\left(\frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_3}{3}\right) = \frac{1}{9}D(X_1) + \frac{1}{9}D(X_2) + \frac{1}{9}D(X_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$
步骤 4：计算选项C的方差
$D(\hat{1}_1) = D\left(\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_3}{6}\right) = \frac{1}{4}D(X_1) + \frac{1}{9}D(X_2) + \frac{1}{36}D(X_3) = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{7}{18}$
步骤 5：计算选项D的方差
$D(\hat{4}_4) = D\left(\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_3}{4}\right) = \frac{1}{4}D(X_1) + \frac{1}{9}D(X_2) + \frac{1}{16}D(X_3) = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{61}{144}$
步骤 6：比较方差大小
$D(\hat{3}_3) < D(\hat{x}_2) < D(\hat{1}_1) < D(\hat{4}_4)$
由于总体$X\sim N(\mu ,1)$，样本$X_1, X_2, X_3$相互独立，且$D(X_i) = 1$，我们可以计算每个估计量的方差。
步骤 2：计算选项A的方差
$D(\hat{x}_2) = D\left(\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{4} + \frac{X_3}{4}\right) = \frac{1}{4}D(X_1) + \frac{1}{16}D(X_2) + \frac{1}{16}D(X_3) = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{8}$
步骤 3：计算选项B的方差
$D(\hat{3}_3) = D\left(\frac{X_1}{3} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_3}{3}\right) = \frac{1}{9}D(X_1) + \frac{1}{9}D(X_2) + \frac{1}{9}D(X_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$
步骤 4：计算选项C的方差
$D(\hat{1}_1) = D\left(\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_3}{6}\right) = \frac{1}{4}D(X_1) + \frac{1}{9}D(X_2) + \frac{1}{36}D(X_3) = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{7}{18}$
步骤 5：计算选项D的方差
$D(\hat{4}_4) = D\left(\frac{X_1}{2} + \frac{X_2}{3} + \frac{X_3}{4}\right) = \frac{1}{4}D(X_1) + \frac{1}{9}D(X_2) + \frac{1}{16}D(X_3) = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{61}{144}$
步骤 6：比较方差大小
$D(\hat{3}_3) < D(\hat{x}_2) < D(\hat{1}_1) < D(\hat{4}_4)$