题目
X sim N(mu, 8^2), X_1, X_2, ..., X_n 为 X 的样本，mu 的置信度为 1 - alpha 的置信区间的长度随 n 的增大而A. 增大B. 减小C. 不变D. 有时增大，有时减小
$X \sim N(\mu, 8^2)$, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为 $X$ 的样本，$\mu$ 的置信度为 $1 - \alpha$ 的置信区间的长度随 $n$ 的增大而
A. 增大
B. 减小
C. 不变
D. 有时增大，有时减小
题目解答
答案
B. 减小
解析
步骤 1：确定置信区间的表达式
对于正态分布总体 $X \sim N(\mu, 8^2)$，样本均值 $\bar{X}$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为： \[ \left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \] 其中，$\bar{X}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本量。 在这个问题中，总体标准差 $\sigma = 8$。
步骤 2：计算置信区间的长度
置信区间的长度为： \[ \left( \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{8}{\sqrt{n}} \right) - \left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{8}{\sqrt{n}} \right) = 2 z_{\alpha/2} \frac{8}{\sqrt{n}} = \frac{16 z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \] 从置信区间的长度表达式中可以看出，置信区间的长度与 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 成正比。
步骤 3：分析置信区间的长度随 $n$ 的变化
随样本量 $n$ 的增大，$\frac{1}{\sqrt{n}}$ 减小，从而置信区间的长度减小。
对于正态分布总体 $X \sim N(\mu, 8^2)$，样本均值 $\bar{X}$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为： \[ \left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \] 其中，$\bar{X}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本量。 在这个问题中，总体标准差 $\sigma = 8$。
步骤 2：计算置信区间的长度
置信区间的长度为： \[ \left( \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{8}{\sqrt{n}} \right) - \left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{8}{\sqrt{n}} \right) = 2 z_{\alpha/2} \frac{8}{\sqrt{n}} = \frac{16 z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \] 从置信区间的长度表达式中可以看出，置信区间的长度与 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 成正比。
步骤 3：分析置信区间的长度随 $n$ 的变化
随样本量 $n$ 的增大，$\frac{1}{\sqrt{n}}$ 减小，从而置信区间的长度减小。