题目

求函数的定义域函数 y = sqrt(5-x) + lg(x-1) 的定义域为 __

求函数的定义域 函数 $y = \sqrt{5-x} + \lg(x-1)$ 的定义域为 __

题目解答

答案

我们来求函数：

$y = \sqrt{5 - x} + \lg(x - 1)$

的定义域。

第一步：分析函数中各部分的定义域

这个函数由两个部分组成：

  1. $\sqrt{5 - x}$：这是一个平方根函数，要求被开方的表达式 大于等于 0。

    $5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5$

  2. $\lg(x - 1)$：这是以 10 为底的对数函数（常用对数），要求真数大于 0。

    $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

> 注意：对数函数的真数必须 严格大于 0，不能等于 0。

第二步：求两个条件的交集

我们有两个条件：

  • $x \leq 5$
  • $x > 1$

取它们的交集：

$1 < x \leq 5$

第三步：写出定义域

所以，函数的定义域是：

$\boxed{(1, 5]}$

答案：

$\boxed{(1,\ 5]}$

解析

本题考查函数定义域的求解，解题的关键在于分别确定函数中不同部分的定义域，然后取它们的交集。

对于函数$y = \sqrt{5 - x} + \lg(x - 1)$，它由根式函数$\sqrt{5 - x}$和对数函数$\lg(x - 1)$相加组成。

  1. 确定根式函数$\sqrt{5 - x}$的定义域：
    • 因为在实数范围内，二次根式的被开方数必须是非负的，所以对于$\sqrt{5 - x}$，有$5 - x\geq0$。
    • 解这个不等式：
      • 移项可得$-x\geq - 5$。
      • 不等式两边同时乘以$-1$，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变，得到$x\leq5$。
  2. 确定对数函数$\lg(x - 1)$的定义域：
    • 对于对数函数$\log_aN$（$a\gt0$且$a\neq1$），其真数$N$必须大于$0$，所以对于$\lg(x - 1)$，有$x - 1\gt0$。
    • 解这个不等式，移项可得$x\gt1$。
  3. 求两个定义域的交集：
    • 我们已经得到$x\leq5$和$x\gt1$，取它们的交集，即同时满足这两个条件的$x$的取值范围。
    • 用区间表示为$(1,5]$。