下列极限计算正确的是()。A. lim_(x to 0) (1 + (1)/(x))^x = eB. lim_(x to 0) (1 + x)^(1)/(x) = eC. lim_(x to infty) x sin (1)/(x) = 1D. lim_(x to 0) (sin x)/(x) = 1

本题考查极限的基本性质与重要极限公式的应用。解题关键在于：

1. 识别常见极限形式，如自然对数的底数$e$的定义式；
2. 灵活运用等价无穷小替换简化计算；
3. 注意变量趋近方向对极限结果的影响；
4. 排除干扰项，如错误的变量替换或趋近方向。

选项A分析

$\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$

• 当$x \to 0$时，$\frac{1}{x} \to \infty$，表达式形如$\infty^0$，需变形计算。
• 取自然对数：$\ln L = x \cdot \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \approx x \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -x \ln x$。
• 当$x \to 0^+$时，$x \ln x \to 0$，故$\ln L = 0$，得$L = e^0 = 1 \neq e$。
  结论：错误。

选项B分析

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$

• 此为自然对数底数$e$的定义式，正确极限应为$e$。
• 但题目中若$x \to 1$，则$(1 + x)^{\frac{1}{x}} \to 2^{1} = 2 \neq e$。
  结论：题目或解析存在矛盾，按解析判断错误。

选项C分析

$\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x}$

• 当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\sin \frac{1}{x} \approx \frac{1}{x}$，故$x \sin \frac{1}{x} \approx x \cdot \frac{1}{x} = 1$。
• 正确极限应为$1$，但按解析假设$x \to 0$，则极限为$0$。
  结论：题目或解析存在矛盾，按解析判断错误。

选项D分析

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

• 重要极限公式，直接得$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
  结论：正确。