矩阵 A = } 2 & 1 1 & 2 _2(A) = _____

本题考查矩阵的2 - 条件数的计算。解题思路有两种，一种是利用对称矩阵2 - 条件数等于最大特征值与最小特征值的比值这一性质；另一种是先分别计算矩阵的2 - 范数和其逆矩阵的2 - 范数，再根据2 - 条件数的定义计算。

方法一：利用特征值计算

1. 首先求矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$的特征值。
   根据特征方程$\vert\lambda E - A\vert = 0$，其中$E$为单位矩阵，可得：
   $\begin{vmatrix}\lambda - 2&-1\\-1&\lambda - 2\end{vmatrix}=(\lambda - 2)^2-1 = 0$
   展开$(\lambda - 2)^2-1$得$\lambda^2 - 4\lambda + 4 - 1=\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
   因式分解为$(\lambda - 3)(\lambda - 1)=0$
   解得$\lambda_1 = 3$，$\lambda_2 = 1$。
2. 因为矩阵$A$是对称矩阵，对于对称矩阵，其2 - 条件数$\text{cond}_2(A)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}$。
   这里$\lambda_{\max}=3$，$\lambda_{\min}=1$，所以$\text{cond}_2(A)=\frac{3}{1}=3$。

方法二：利用矩阵2 - 范数和逆矩阵2 - 范数计算

1. 计算矩阵$A$的2 - 范数$\vert\vert A\vert\vert_2$。
   对于对称矩阵，其2 - 范数等于其特征值的绝对值的最大值，由前面计算可知矩阵$A$的特征值为$\lambda_1 = 3$，$\lambda_2 = 1$，所以$\vert\vert A\vert\vert_2 = 3$。
2. 求矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$。
   根据逆矩阵公式$A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}\text{adj}(A)$，其中$\vert A\vert=2\times2 - 1\times1 = 3$，$\text{adj}(A)=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$，则$A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$。
3. 计算逆矩阵$A^{-1}$的2 - 范数$\vert\vert A^{-1}\vert\vert_2$。
   同样对于对称矩阵$A^{-1}$，其2 - 范数等于其特征值的绝对值的最大值。
   求$A^{-1}$的特征值，根据特征方程$\vert\mu E - A^{-1}\vert = 0$，即$\begin{vmatrix}\mu-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\mu-\frac{2}{3}\end{vmatrix}=(\mu - \frac{2}{3})^2-\frac{1}{9}=0$
   展开得$\mu^2-\frac{4}{3}\mu+\frac{4}{9}-\frac{1}{9}=\mu^2-\frac{4}{3}\mu+\frac{1}{3}=0$
   两边同乘3得$3\mu^2 - 4\mu + 1 = 0$
   因式分解为$(3\mu - 1)(\mu - 1)=0$
   解得$\mu_1 = 1$，$\mu_2=\frac{1}{3}$，所以$\vert\vert A^{-1}\vert\vert_2 = 1$。
4. 根据2 - 条件数的定义$\text{cond}_2(A)=\vert\vert A\vert\vert_2\times\vert\vert A^{-1}\vert\vert_2$，可得$\text{cond}_2(A)=3\times1 = 3$。