题目
4.已知 sim N(3,(2)^2), 试确定k的值,使 Xgt k =P Xleqslant k .
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题
题目要求我们找到一个值 $k$，使得随机变量 $X$ 大于 $k$ 的概率等于 $X$ 小于等于 $k$ 的概率。由于 $X$ 服从正态分布 $N(3, 2^2)$，我们可以通过标准正态分布的性质来解决这个问题。
步骤 2：利用正态分布的性质
由于 $X$ 服从正态分布 $N(3, 2^2)$，其均值为 $3$，标准差为 $2$。根据正态分布的对称性，$P(X > k) = P(X \leq k)$ 意味着 $k$ 必须等于分布的均值，即 $k = 3$。这是因为正态分布是关于其均值对称的，所以当 $k$ 等于均值时，$X$ 大于 $k$ 的概率等于 $X$ 小于等于 $k$ 的概率。
步骤 3：验证
为了验证 $k = 3$ 是否满足条件，我们可以将 $k$ 代入正态分布的累积分布函数（CDF）中。由于 $X$ 服从 $N(3, 2^2)$，我们有 $P(X \leq 3) = 0.5$，因为 $3$ 是分布的均值。同样，$P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - 0.5 = 0.5$。因此，$P(X > 3) = P(X \leq 3)$，满足题目要求。
题目要求我们找到一个值 $k$，使得随机变量 $X$ 大于 $k$ 的概率等于 $X$ 小于等于 $k$ 的概率。由于 $X$ 服从正态分布 $N(3, 2^2)$，我们可以通过标准正态分布的性质来解决这个问题。
步骤 2：利用正态分布的性质
由于 $X$ 服从正态分布 $N(3, 2^2)$，其均值为 $3$，标准差为 $2$。根据正态分布的对称性，$P(X > k) = P(X \leq k)$ 意味着 $k$ 必须等于分布的均值，即 $k = 3$。这是因为正态分布是关于其均值对称的，所以当 $k$ 等于均值时，$X$ 大于 $k$ 的概率等于 $X$ 小于等于 $k$ 的概率。
步骤 3：验证
为了验证 $k = 3$ 是否满足条件，我们可以将 $k$ 代入正态分布的累积分布函数（CDF）中。由于 $X$ 服从 $N(3, 2^2)$，我们有 $P(X \leq 3) = 0.5$，因为 $3$ 是分布的均值。同样，$P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - 0.5 = 0.5$。因此，$P(X > 3) = P(X \leq 3)$，满足题目要求。