题目
在总体N(12，4)中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5。 (1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。 (2)求概率P_(max)(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15；P_(min)(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10。
在总体$$N(12，4)$$中随机抽一容量为5的样本$$X1，X2，X3，X4，X5$$。
(1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。
(2)求概率$$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15$$；$$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10$$。
题目解答
答案
(1).0.7698
(2)0.3023；0.5786 .
解析
步骤 1：计算样本均值的分布
样本均值$$\bar{X}$$的分布为$$N(\mu, \sigma^2/n)$$，其中$$\mu=12$$，$$\sigma^2=4$$，$$n=5$$。因此，$$\bar{X}$$的分布为$$N(12, 4/5)$$，即$$N(12, 0.8)$$。
步骤 2：计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率
样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率为$$P(|\bar{X}-12|>1)$$。由于$$\bar{X}$$的分布为$$N(12, 0.8)$$，因此$$\bar{X}-12$$的分布为$$N(0, 0.8)$$。因此，$$P(|\bar{X}-12|>1) = P(\bar{X}-12>1) + P(\bar{X}-12<-1)$$。将$$\bar{X}-12$$标准化为$$Z=(\bar{X}-12)/\sqrt{0.8}$$，则$$Z$$的分布为$$N(0, 1)$$。因此，$$P(|\bar{X}-12|>1) = P(Z>\sqrt{0.8}) + P(Z<-\sqrt{0.8})$$。查标准正态分布表，得$$P(Z>\sqrt{0.8}) = 1 - \Phi(\sqrt{0.8}) = 1 - 0.7698 = 0.2302$$，$$P(Z<-\sqrt{0.8}) = \Phi(-\sqrt{0.8}) = 0.2302$$。因此，$$P(|\bar{X}-12|>1) = 0.2302 + 0.2302 = 0.4604$$。
步骤 3：计算$$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15$$
$$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15$$的概率为$$1-P(x_1\leq15,x_2\leq15,x_3\leq15,x_4\leq15,x_5\leq15)$$。由于$$x_i$$的分布为$$N(12, 4)$$，因此$$P(x_i\leq15) = \Phi((15-12)/2) = \Phi(1.5) = 0.9332$$。因此，$$P(x_1\leq15,x_2\leq15,x_3\leq15,x_4\leq15,x_5\leq15) = 0.9332^5 = 0.6983$$。因此，$$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15 = 1 - 0.6983 = 0.3017$$。
步骤 4：计算$$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10$$
$$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10$$的概率为$$1-P(x_1\geq10,x_2\geq10,x_3\geq10,x_4\geq10,x_5\geq10)$$。由于$$x_i$$的分布为$$N(12, 4)$$，因此$$P(x_i\geq10) = 1 - \Phi((10-12)/2) = 1 - \Phi(-1) = 0.8413$$。因此，$$P(x_1\geq10,x_2\geq10,x_3\geq10,x_4\geq10,x_5\geq10) = 0.8413^5 = 0.4202$$。因此，$$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10 = 1 - 0.4202 = 0.5798$$。
样本均值$$\bar{X}$$的分布为$$N(\mu, \sigma^2/n)$$，其中$$\mu=12$$，$$\sigma^2=4$$，$$n=5$$。因此，$$\bar{X}$$的分布为$$N(12, 4/5)$$，即$$N(12, 0.8)$$。
步骤 2：计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率
样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率为$$P(|\bar{X}-12|>1)$$。由于$$\bar{X}$$的分布为$$N(12, 0.8)$$，因此$$\bar{X}-12$$的分布为$$N(0, 0.8)$$。因此，$$P(|\bar{X}-12|>1) = P(\bar{X}-12>1) + P(\bar{X}-12<-1)$$。将$$\bar{X}-12$$标准化为$$Z=(\bar{X}-12)/\sqrt{0.8}$$，则$$Z$$的分布为$$N(0, 1)$$。因此，$$P(|\bar{X}-12|>1) = P(Z>\sqrt{0.8}) + P(Z<-\sqrt{0.8})$$。查标准正态分布表，得$$P(Z>\sqrt{0.8}) = 1 - \Phi(\sqrt{0.8}) = 1 - 0.7698 = 0.2302$$，$$P(Z<-\sqrt{0.8}) = \Phi(-\sqrt{0.8}) = 0.2302$$。因此，$$P(|\bar{X}-12|>1) = 0.2302 + 0.2302 = 0.4604$$。
步骤 3：计算$$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15$$
$$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15$$的概率为$$1-P(x_1\leq15,x_2\leq15,x_3\leq15,x_4\leq15,x_5\leq15)$$。由于$$x_i$$的分布为$$N(12, 4)$$，因此$$P(x_i\leq15) = \Phi((15-12)/2) = \Phi(1.5) = 0.9332$$。因此，$$P(x_1\leq15,x_2\leq15,x_3\leq15,x_4\leq15,x_5\leq15) = 0.9332^5 = 0.6983$$。因此，$$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15 = 1 - 0.6983 = 0.3017$$。
步骤 4：计算$$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10$$
$$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10$$的概率为$$1-P(x_1\geq10,x_2\geq10,x_3\geq10,x_4\geq10,x_5\geq10)$$。由于$$x_i$$的分布为$$N(12, 4)$$，因此$$P(x_i\geq10) = 1 - \Phi((10-12)/2) = 1 - \Phi(-1) = 0.8413$$。因此，$$P(x_1\geq10,x_2\geq10,x_3\geq10,x_4\geq10,x_5\geq10) = 0.8413^5 = 0.4202$$。因此，$$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10 = 1 - 0.4202 = 0.5798$$。