9.已知A是3阶矩阵，A的每行元素之和为3，且齐次线性方程组Ax=0有通解 k_(1)[1,2,-2]^T+k_(2)[2,1,2]^T,alpha=[1,1,1]^T, 其中 k_(1),k_(2) 是任意常数.(1)证明：对任意的一个3维列向量β，向量Aβ和α线性相关；(2)若 β=[3,6,-3]^T, 求Aβ.
题目解答
答案
(1) 证明：
由题意，$ A\alpha = 3\alpha $（其中 $\alpha = [1,1,1]^T$），且齐次方程组 $ Ax=0 $ 的通解为 $ k_1[1,2,-2]^T + k_2[2,1,2]^T $，说明 $ A $ 的秩为1。
任意3维向量 $\beta$ 可表示为 $ A $ 的特征向量线性组合：
$\beta = x_1\alpha + x_2\xi_1 + x_3\xi_2 \quad (\xi_1, \xi_2 \text{对应特征值0})$
则 $ A\beta = 3x_1\alpha $，与 $\alpha$ 线性相关。
(2) 求解：
设 $\beta = [3,6,-3]^T = x_1\alpha + x_2[1,2,-2]^T + x_3[2,1,2]^T$，解得 $ x_1 = 3 $，$ x_2 = 2 $，$ x_3 = -1 $。
故 $ A\beta = 3x_1\alpha = 9\alpha = [9,9,9]^T $。
答案：
(1) $ A\beta $ 与 $\alpha$ 线性相关。
(2) $ A\beta = \boxed{\begin{bmatrix} 9 \\ 9 \\ 9 \end{bmatrix}} $。
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的特征值、特征向量、齐次方程组解的结构以及线性相关性的应用。
解题核心思路：
- 利用已知条件确定矩阵A的特征值和特征向量：由每行元素之和为3，可得$A\alpha = 3\alpha$，其中$\alpha = [1,1,1]^T$，说明$\alpha$是A的特征值3对应的特征向量。
- 分析矩阵A的秩：齐次方程组解空间的维数为2，故矩阵A的秩为1，说明A的列空间由$\alpha$张成。
- 任意向量的分解：任意3维向量$\beta$可表示为$\alpha$与解空间向量的线性组合，应用A后，解空间部分被消去，仅保留与$\alpha$相关部分，从而证明线性相关性。
- 具体计算：通过线性组合系数直接计算$A\beta$的值。
破题关键点：
- 特征值与特征向量的应用：利用$A\alpha = 3\alpha$简化计算。
- 解空间的结构：通解形式表明解空间由两个向量张成，结合秩的性质确定矩阵A的列空间结构。
第（1）题
分析矩阵A的结构
由题意，$A\alpha = 3\alpha$，且齐次方程组$Ax=0$的通解为$k_1[1,2,-2]^T + k_2[2,1,2]^T$，说明解空间维数为2，因此矩阵A的秩为$3 - 2 = 1$。秩为1说明A的列空间由$\alpha$张成，即所有列向量均为$\alpha$的倍数。
任意向量的分解
任意3维向量$\beta$可表示为：
$\beta = x_1\alpha + x_2\xi_1 + x_3\xi_2$
其中$\xi_1 = [1,2,-2]^T$，$\xi_2 = [2,1,2]^T$为齐次方程组的基础解系。
应用矩阵A
对$\beta$应用矩阵A：
$A\beta = A(x_1\alpha + x_2\xi_1 + x_3\xi_2) = x_1A\alpha + x_2A\xi_1 + x_3A\xi_2$
由于$A\xi_1 = 0$，$A\xi_2 = 0$，且$A\alpha = 3\alpha$，得：
$A\beta = 3x_1\alpha$
显然，$A\beta$是$\alpha$的倍数，因此与$\alpha$线性相关。
第（2）题
确定系数$x_1, x_2, x_3$
将$\beta = [3,6,-3]^T$表示为：
$\beta = x_1\alpha + x_2\xi_1 + x_3\xi_2$
即：
$\begin{cases}x_1 + x_2 + 2x_3 = 3 \\x_1 + 2x_2 + x_3 = 6 \\x_1 - 2x_2 + 2x_3 = -3\end{cases}$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 2$，$x_3 = -1$。
计算$A\beta$
根据第（1）题结论：
$A\beta = 3x_1\alpha = 3 \times 3 \times [1,1,1]^T = [9,9,9]^T$