设 A, B, C 是相互独立的随机事件，且 P(A) neq 0, 0 < P(C) < 1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是 ( ).(A) A + B 与 C(B) AC 与 overline(C)(C) overline(A) - B 与 overline(C)(D) AB 与 overline(C)

我们来逐项分析题目中的四个选项，判断哪一对事件 不相互独立。

已知条件：

• $ A, B, C $ 是相互独立的随机事件；
• $ P(A) \ne 0 $，且 $ 0 < P(C) < 1 $。

事件独立的定义：

两个事件 $ E $ 和 $ F $ 相互独立，当且仅当：
$P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$

分析选项：

(A) $ A + B $ 与 $ C $

我们要判断的是：事件 $ A + B $ 与事件 $ C $ 是否独立。

我们知道：

$P((A + B) \cap C) = P((A \cap C) + (B \cap C)) = P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)$

由于 $ A, B, C $ 相互独立：

• $ P(A \cap C) = P(A)P(C) $
• $ P(B \cap C) = P(B)P(C) $
• $ P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) $

所以：

$P((A + B) \cap C) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C) = P(C)[P(A) + P(B) - P(A)P(B)]$

而：

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$

所以：

$P((A + B) \cap C) = P(A + B) \cdot P(C)$

因此，(A) 是相互独立的 ✅

(B) $ AC $ 与 $ \overline{C} $

我们要判断的是：事件 $ AC $ 与事件 $ \overline{C} $ 是否独立。

注意：$ AC $ 表示事件 $ A $ 和 $ C $ 同时发生。

我们来计算：

$P(AC \cap \overline{C}) = P(A \cap C \cap \overline{C}) = P(\emptyset) = 0$

而：

• $ P(AC) = P(A)P(C) $（因为 $ A, C $ 独立）
• $ P(\overline{C}) = 1 - P(C) $

所以：

$P(AC) \cdot P(\overline{C}) = P(A)P(C)(1 - P(C)) \ne 0$

但：

$P(AC \cap \overline{C}) = 0 \ne P(AC) \cdot P(\overline{C})$

因此，(B) 不相互独立 ❌

(C) $ \overline{A} - B $ 与 $ \overline{C} $

我们先理解事件 $ \overline{A} - B $ 的含义：

$\overline{A} - B = \overline{A} \cap \overline{B}$

因为 $ \overline{A} - B $ 表示在 $ \overline{A} $ 中但不在 $ B $ 中的事件，即 $ \overline{A} \cap \overline{B} $。

所以我们要判断的是：

$P((\overline{A} \cap \overline{B}) \cap \overline{C}) = P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})$

由于 $ A, B, C $ 相互独立，所以其补事件也相互独立：

$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})$

同时：

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$

$P(\overline{C}) = P(\overline{C})$

所以：

$P((\overline{A} \cap \overline{B}) \cap \overline{C}) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) \cdot P(\overline{C})$

因此，(C) 是相互独立的 ✅

(D) $ AB $ 与 $ \overline{C} $

我们要判断的是：事件 $ AB $ 与 $ \overline{C} $ 是否独立。

我们知道：

• $ P(AB \cap \overline{C}) = P(A \cap B \cap \overline{C}) = P(A)P(B)P(\overline{C}) $（因为 $ A, B, C $ 独立）

同时：

• $ P(AB) = P(A)P(B) $
• $ P(\overline{C}) = P(\overline{C}) $

所以：

$P(AB \cap \overline{C}) = P(AB) \cdot P(\overline{C})$

因此，(D) 是相互独立的 ✅

✅ 最终答案：

选项 (B) 中的事件 $ AC $ 与 $ \overline{C} $ 不相互独立。

✅ 答案：$\boxed{B}$