计算 I = int_(-1)^1 dx int_(|x|)^sqrt(2-x^2) y sin sqrt(x^2 + y^2) , dy.

将积分区域 $ D $ 转换为极坐标系，其中 $ x = r \cos \theta $，$ y = r \sin \theta $，$ dx \, dy = r \, dr \, d\theta $。
区域 $ D $ 在极坐标下为 $ 0 \leq r \leq \sqrt{2} $，$ \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4} $。
原积分变为：
$I = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin \theta \, d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2 \sin r \, dr$
计算 $ \theta $ 的积分：
$\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin \theta \, d\theta = \sqrt{2}$
计算 $ r $ 的积分（使用分部积分）：
$\int_{0}^{\sqrt{2}} r^2 \sin r \, dr = 2\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}) - 2$
结合结果：
$I = \sqrt{2} \left( 2\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}) - 2 \right) = 4 \sin(\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}$

答案： $\boxed{4 \sin \sqrt{2} - 2\sqrt{2}}$