题目
从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取1000粒,试求这1000粒种子的发芽率与0.9之差的绝对值小于0.02的概率.
从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取1000粒,试求这1000粒种子的发芽率与0.9之差的绝对值小于0.02的概率.
题目解答
答案
解:记x为发芽的种子数,则有
据题意求
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为1000粒种子中发芽的种子数，则X服从二项分布$X\sim B(1000,0.9)$，其中n=1000，p=0.9。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望$E(X)=np=1000\times0.9=900$，方差$Var(X)=np(1-p)=1000\times0.9\times0.1=90$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于n较大，根据中心极限定理，X近似服从正态分布$N(900,90)$。因此，$\dfrac{X-900}{\sqrt{90}}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 4：计算概率
根据题意，求$P(|\dfrac{X}{1000}-0.9|\leqslant0.02)$，即求$P(|X-900|\leqslant20)$。将X标准化，得到$P(-\dfrac{20}{\sqrt{90}}\leqslant\dfrac{X-900}{\sqrt{90}}\leqslant\dfrac{20}{\sqrt{90}})$。利用标准正态分布表，计算$\Phi(\dfrac{20}{\sqrt{90}})$和$\Phi(-\dfrac{20}{\sqrt{90}})$，其中$\Phi$表示标准正态分布的累积分布函数。
步骤 5：计算最终概率
$P(|\dfrac{X}{1000}-0.9|\leqslant0.02)=P(|X-900|\leqslant20)=P(-\dfrac{20}{\sqrt{90}}\leqslant\dfrac{X-900}{\sqrt{90}}\leqslant\dfrac{20}{\sqrt{90}})\approx\Phi(\dfrac{20}{\sqrt{90}})-\Phi(-\dfrac{20}{\sqrt{90}})=2\Phi(\dfrac{20}{\sqrt{90}})-1$。计算$\dfrac{20}{\sqrt{90}}\approx2.11$，查表得$\Phi(2.11)\approx0.9826$，因此$2\Phi(2.11)-1\approx2\times0.9826-1=0.9652$。
设X为1000粒种子中发芽的种子数，则X服从二项分布$X\sim B(1000,0.9)$，其中n=1000，p=0.9。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望$E(X)=np=1000\times0.9=900$，方差$Var(X)=np(1-p)=1000\times0.9\times0.1=90$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于n较大，根据中心极限定理，X近似服从正态分布$N(900,90)$。因此，$\dfrac{X-900}{\sqrt{90}}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 4：计算概率
根据题意，求$P(|\dfrac{X}{1000}-0.9|\leqslant0.02)$，即求$P(|X-900|\leqslant20)$。将X标准化，得到$P(-\dfrac{20}{\sqrt{90}}\leqslant\dfrac{X-900}{\sqrt{90}}\leqslant\dfrac{20}{\sqrt{90}})$。利用标准正态分布表，计算$\Phi(\dfrac{20}{\sqrt{90}})$和$\Phi(-\dfrac{20}{\sqrt{90}})$，其中$\Phi$表示标准正态分布的累积分布函数。
步骤 5：计算最终概率
$P(|\dfrac{X}{1000}-0.9|\leqslant0.02)=P(|X-900|\leqslant20)=P(-\dfrac{20}{\sqrt{90}}\leqslant\dfrac{X-900}{\sqrt{90}}\leqslant\dfrac{20}{\sqrt{90}})\approx\Phi(\dfrac{20}{\sqrt{90}})-\Phi(-\dfrac{20}{\sqrt{90}})=2\Phi(\dfrac{20}{\sqrt{90}})-1$。计算$\dfrac{20}{\sqrt{90}}\approx2.11$，查表得$\Phi(2.11)\approx0.9826$，因此$2\Phi(2.11)-1\approx2\times0.9826-1=0.9652$。