测定黄铁矿中硫的质量分数,6次测定结果分别为30.48%,30.42%,30.59%,30.52%,30.56%和30.49%,分别计算置信度为90%和95%时总体平均值的置信区间。

考查要点：本题主要考查置信区间的计算及测定次数对置信区间的影响。
解题核心思路：

1. 确定置信度对应的t值（根据自由度和置信度查表）；
2. 计算标准误差（$s/\sqrt{n}$）；
3. 代入置信区间公式（$\bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$）。
   关键点：

• 自由度为测定次数减1（$df = n-1$）；
• 测定次数增加会减小置信区间，提高结果可靠性。

第（1）题：18.9次测定的置信区间

注意：测定次数应为整数，题目中“18.9次”应为笔误，实际按19次计算（自由度$df = 19-1 = 18$）。

步骤1：查t值

置信度95%，自由度$df=18$，查t表得$t=2.10$。

步骤2：计算标准误差

$\text{标准误差} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.5}{\sqrt{19}} \approx 0.1147$

步骤3：计算置信区间半宽

$t \cdot \text{标准误差} = 2.10 \times 0.1147 \approx 0.2409$

步骤4：写出置信区间

$\text{置信区间} = 25.50\% \pm 0.24\% \quad \text{即} \quad (25.26\%,\ 25.74\%)$

第（2）题：5次测定的置信区间

步骤1：查t值

置信度95%，自由度$df=5-1=4$，查t表得$t=2.776$。

步骤2：计算标准误差

$\text{标准误差} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.5}{\sqrt{5}} \approx 0.2236$

步骤3：计算置信区间半宽

$t \cdot \text{标准误差} = 2.776 \times 0.2236 \approx 0.621$

步骤4：写出置信区间

$\text{置信区间} = 25.50\% \pm 0.62\% \quad \text{即} \quad (24.88\%,\ 26.12\%)$

结论比较

测定次数越多，置信区间越小。原因：

1. 标准误差随$\sqrt{n}$减小；
2. t值随自由度增加减小。