若 f(x) = e^-x cos x，则 f'(0) = ( )。A. 2B. 1C. -1D. -2

本题考查的知识点是乘积的求导法则以及函数值的计算。解题思路是先根据乘积的求导法则求出函数$f(x)$的导数$f^\prime(x)$，再将$x = 0$代入$f^\prime(x)$中计算出$f^\prime(0)$的值。

步骤一：明确乘积的求导法则

若$u(x)$和$v(x)$是两个可导函数，则$(u(x)v(x))^\prime = u^\prime(x)v(x) + u(x)v^\prime(x)$。

步骤二：确定$u(x)$和$v(x)$并分别求导

对于$f(x) = e^{-x} \cos x$，令$u(x) = e^{-x}$，$v(x) = \cos x$。

• 对$u(x) = e^{-x}$求导，根据复合函数求导法则$(e^{g(x)})^\prime = e^{g(x)}g^\prime(x)$，这里$g(x)=-x$，$g^\prime(x)=-1$，所以$u^\prime(x) = (e^{-x})^\prime = e^{-x} \times (-1)= -e^{-x}$。
• 对$v(x) = \cos x$求导，根据求导公式$(\cos x)^\prime = -\sin x$，可得$v^\prime(x) = -\sin x$。

步骤三：根据乘积求导法则求$f^\prime(x)$

将$u(x)$、$v(x)$、$u^\prime(x)$和$v^\prime(x)$代入乘积求导法则$(u(x)v(x))^\prime = u^\prime(x)v(x) + u(x)v^\prime(x)$中，可得：
$f^\prime(x) = (e^{-x} \cos x)^\prime = u^\prime(x)v(x) + u(x)v^\prime(x)= -e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x$。

步骤四：计算$f^\prime(0)$

将$x = 0$代入$f^\prime(x)$中：
$f^\prime(0) = -e^{-0} \cos 0 - e^{-0} \sin 0$
因为$e^0 = 1$，$\cos 0 = 1$，$\sin 0 = 0$，所以：
$f^\prime(0) = -1\times 1 - 1\times 0 = -1$。