如图所示,一长直导线ABCDE通有电流I,中部一段弯成圆弧形,半径为a,求圆心处的磁感应强度.C-|||-A __ I B D I E-|||-----|||-60 60° 1-|||-O-|||---

考查要点：本题主要考查磁场中不同载流导线段在空间某点产生的磁感应强度的计算，涉及毕奥-萨伐尔定律的应用，以及磁场的叠加原理。

解题核心思路：

1. 分段处理：将整个导线分为三部分：圆弧段BCD、直导线段AB、直导线段DE。
2. 分别计算：对每一段分别应用毕奥-萨伐尔定律或相关公式，计算其在圆心O点产生的磁感应强度。
3. 矢量叠加：将三部分的磁感应强度矢量相加，注意方向的一致性。

破题关键点：

• 圆弧段：利用环路积分公式，结合圆心角计算。
• 直导线段：应用毕奥-萨伐尔定律的有限长直导线公式，需正确分析几何关系确定角度。

圆弧段BCD的贡献（$B_1$）

圆弧段BCD为四分之一圆（圆心角$\theta = \frac{\pi}{2}$），半径$a$，电流$I$。根据环路积分公式：
$B_1 = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi a} = \frac{\mu_0 I \cdot \frac{\pi}{2}}{4\pi a} = \frac{\mu_0 I}{8a}$
方向：垂直纸面向里。

直导线段AB的贡献（$B_2$）

AB段距离O点的垂直距离为$d = a \cos 60^\circ = \frac{a}{2}$。根据毕奥-萨伐尔定律的有限长直导线公式：
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} \left( \sin \beta_2 - \sin \beta_1 \right)$
其中，$\beta_1 = 60^\circ$，$\beta_2 = 90^\circ$，代入得：
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{4\pi \cdot \frac{a}{2}} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
方向：垂直纸面向里。

直导线段DE的贡献（$B_3$）

DE段与AB段对称，距离O点的垂直距离也为$\frac{a}{2}$。同理：
$B_3 = \frac{\mu_0 I}{4\pi \cdot \frac{a}{2}} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$
方向：垂直纸面向里。

总磁感应强度

将三部分叠加：
$B = B_1 + B_2 + B_3 = \frac{\mu_0 I}{8a} + \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$
代入数值计算得：
$B \approx 0.31 \cdot \frac{\mu_0 I}{a}$
方向：垂直纸面向里。