下列结论不正确的是() A. 设 X 是 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 的概率,则对于任意正数 varepsilon,有 P(|(X)/(n)-p|< varepsilon)geq1-(p(1-p))/(nvarepsilon^2);B. 设 X 是 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 的概率,则对于任意正数 varepsilon,有 lim_(n to infty) P(|(X)/(n)-p|< varepsilon)=1;C. 设 X 是 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 的概率,则对于任意正数 varepsilon,有 lim_(n to infty) P(|(X)/(n)-p| >varepsilon)=1;D. 伯努利大数定律说明当 n 充分大时,事件 A 发生的频率与概率有较大偏差的可能性较小,同时从理论上证明了频率的稳定性;
下列结论不正确的是()
- A. 设 $X$ 是 $n$ 次重复独立试验中事件 $A$ 发生的次数,$p$ 是事件 $A$ 的概率,则对于任意正数 $\varepsilon$,有 $P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|< \varepsilon\right)\geq1-\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$;
- B. 设 $X$ 是 $n$ 次重复独立试验中事件 $A$ 发生的次数,$p$ 是事件 $A$ 的概率,则对于任意正数 $\varepsilon$,有 $\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|< \varepsilon\right)=1$;
- C. 设 $X$ 是 $n$ 次重复独立试验中事件 $A$ 发生的次数,$p$ 是事件 $A$ 的概率,则对于任意正数 $\varepsilon$,有 $\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right| >\varepsilon\right)=1$;
- D. 伯努利大数定律说明当 $n$ 充分大时,事件 $A$ 发生的频率与概率有较大偏差的可能性较小,同时从理论上证明了频率的稳定性;
题目解答
答案
解析
本题主要考查切比雪夫不等式、伯努利大数定律及相关概率极限性质,需逐一分析各选项正确性:
选项A分析
$X$是$n$次独立重复试验中事件$A$发生的次数,则$X\sim B(n,p)$,期望$E(X)=np$,方差$D(X)=np(1-p)$。
考虑$Y=\frac{X}{n}$,则$E(Y)=p$,$D(Y)=\frac{p(1-p)}{n}$。
根据切比雪夫不等式:对任意$\varepsilon>0$,
$P\left(|Y-E(Y)|\geq\varepsilon\right)\leq\frac{D(Y)}{\varepsilon^2}=\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$
等价于:
$P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=1-P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|\geq\varepsilon\right)\geq1-\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$
选项A正确。
选项B分析
伯努利大数定律的核心结论是:当$n\to\infty$时,频率$\frac{X}{n}$依概率收敛到概率$p$,即对任意$\varepsilon>0$,
$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=1$
选项B正确。
选项C分析
由选项B的伯努利大数定律,$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=1$,则其对立事件的概率极限为:
$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|>\varepsilon\right)=1-\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=0$
选项C错误。
选项D分析
伯努利大数定律的意义正是:当$n$充分大时,频率$\frac{X}{n}$与概率$p$偏差较大的可能性很小(即概率趋近于0),从理论上证明了频率的稳定性。选项D正确。