题目
下列结论不正确的是() A. 设 X 是 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 的概率,则对于任意正数 varepsilon,有 P(|(X)/(n)-p|< varepsilon)geq1-(p(1-p))/(nvarepsilon^2);B. 设 X 是 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 的概率,则对于任意正数 varepsilon,有 lim_(n to infty) P(|(X)/(n)-p|< varepsilon)=1;C. 设 X 是 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 的概率,则对于任意正数 varepsilon,有 lim_(n to infty) P(|(X)/(n)-p| >varepsilon)=1;D. 伯努利大数定律说明当 n 充分大时,事件 A 发生的频率与概率有较大偏差的可能性较小,同时从理论上证明了频率的稳定性;
下列结论不正确的是()
- A. 设 $X$ 是 $n$ 次重复独立试验中事件 $A$ 发生的次数,$p$ 是事件 $A$ 的概率,则对于任意正数 $\varepsilon$,有 $P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|< \varepsilon\right)\geq1-\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$;
- B. 设 $X$ 是 $n$ 次重复独立试验中事件 $A$ 发生的次数,$p$ 是事件 $A$ 的概率,则对于任意正数 $\varepsilon$,有 $\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|< \varepsilon\right)=1$;
- C. 设 $X$ 是 $n$ 次重复独立试验中事件 $A$ 发生的次数,$p$ 是事件 $A$ 的概率,则对于任意正数 $\varepsilon$,有 $\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right| >\varepsilon\right)=1$;
- D. 伯努利大数定律说明当 $n$ 充分大时,事件 $A$ 发生的频率与概率有较大偏差的可能性较小,同时从理论上证明了频率的稳定性;
题目解答
答案
为了确定哪个结论不正确,让我们逐步分析每个选项。
**选项A:**
设 $ X $ 是 $ n $ 次重复独立试验中事件 $ A $ 发生的次数,$ p $ 是事件 $ A $ 的概率。则对于任意正数 $ \varepsilon $,有
\[ P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| < \varepsilon \right) \geq 1 - \frac{p(1-p)}{n \varepsilon^2}. \]
这是切比雪夫不等式的直接应用。切比雪夫不等式表明,对于任何具有有限期望值 $ \mu $ 和有限非零方差 $ \sigma^2 $ 的随机变量 $ Y $,以及任何正实数 $ k $,
\[ P(|Y - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}. \]
在我们的情况下,$ Y = \frac{X}{n} $,$ \mu = p $,且 $ \sigma^2 = \frac{p(1-p)}{n} $。设 $ k = \frac{\varepsilon}{\sigma} = \varepsilon \sqrt{\frac{n}{p(1-p)}} $。那么,
\[ P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{p(1-p)}{n \varepsilon^2}, \]
这意味着
\[ P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| < \varepsilon \right) \geq 1 - \frac{p(1-p)}{n \varepsilon^2}. \]
因此,选项A是正确的。
**选项B:**
设 $ X $ 是 $ n $ 次重复独立试验中事件 $ A $ 发生的次数,$ p $ 是事件 $ A $ 的概率。则对于任意正数 $ \varepsilon $,
\[ \lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| < \varepsilon \right) = 1. \]
这是伯努利大数定律,它表明当 $ n $ 趋向于无穷大时,事件 $ A $ 发生的相对频率 $ \frac{X}{n} $ 依概率收敛到 $ p $。因此,选项B是正确的。
**选项C:**
设 $ X $ 是 $ n $ 次重复独立试验中事件 $ A $ 发生的次数,$ p $ 是事件 $ A $ 的概率。则对于任意正数 $ \varepsilon $,
\[ \lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| > \varepsilon \right) = 1. \]
这与伯努利大数定律相矛盾,伯努利大数定律表明 $ \lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| < \varepsilon \right) = 1 $,这意味着 $ \lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| > \varepsilon \right) = 0 $。因此,选项C是不正确的。
**选项D:**
伯努利大数定律说明当 $ n $ 充分大时,事件 $ A $ 发生的频率与概率有较大偏差的可能性较小,同时从理论上证明了频率的稳定性。
这是伯努利大数定律的正确解释。因此,选项D是正确的。
不正确的结论是 $\boxed{C}$。