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数学
题目

下列结论不正确的是() A. 设 X 是 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 的概率,则对于任意正数 varepsilon,有 P(|(X)/(n)-p|< varepsilon)geq1-(p(1-p))/(nvarepsilon^2);B. 设 X 是 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 的概率,则对于任意正数 varepsilon,有 lim_(n to infty) P(|(X)/(n)-p|< varepsilon)=1;C. 设 X 是 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 的概率,则对于任意正数 varepsilon,有 lim_(n to infty) P(|(X)/(n)-p| >varepsilon)=1;D. 伯努利大数定律说明当 n 充分大时,事件 A 发生的频率与概率有较大偏差的可能性较小,同时从理论上证明了频率的稳定性;

下列结论不正确的是()

  • A. 设 $X$ 是 $n$ 次重复独立试验中事件 $A$ 发生的次数,$p$ 是事件 $A$ 的概率,则对于任意正数 $\varepsilon$,有 $P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|< \varepsilon\right)\geq1-\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$;
  • B. 设 $X$ 是 $n$ 次重复独立试验中事件 $A$ 发生的次数,$p$ 是事件 $A$ 的概率,则对于任意正数 $\varepsilon$,有 $\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|< \varepsilon\right)=1$;
  • C. 设 $X$ 是 $n$ 次重复独立试验中事件 $A$ 发生的次数,$p$ 是事件 $A$ 的概率,则对于任意正数 $\varepsilon$,有 $\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right| >\varepsilon\right)=1$;
  • D. 伯努利大数定律说明当 $n$ 充分大时,事件 $A$ 发生的频率与概率有较大偏差的可能性较小,同时从理论上证明了频率的稳定性;

题目解答

答案

为了确定哪个结论不正确,让我们逐步分析每个选项。 **选项A:** 设 $ X $ 是 $ n $ 次重复独立试验中事件 $ A $ 发生的次数,$ p $ 是事件 $ A $ 的概率。则对于任意正数 $ \varepsilon $,有 \[ P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| < \varepsilon \right) \geq 1 - \frac{p(1-p)}{n \varepsilon^2}. \] 这是切比雪夫不等式的直接应用。切比雪夫不等式表明,对于任何具有有限期望值 $ \mu $ 和有限非零方差 $ \sigma^2 $ 的随机变量 $ Y $,以及任何正实数 $ k $, \[ P(|Y - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}. \] 在我们的情况下,$ Y = \frac{X}{n} $,$ \mu = p $,且 $ \sigma^2 = \frac{p(1-p)}{n} $。设 $ k = \frac{\varepsilon}{\sigma} = \varepsilon \sqrt{\frac{n}{p(1-p)}} $。那么, \[ P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{p(1-p)}{n \varepsilon^2}, \] 这意味着 \[ P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| < \varepsilon \right) \geq 1 - \frac{p(1-p)}{n \varepsilon^2}. \] 因此,选项A是正确的。 **选项B:** 设 $ X $ 是 $ n $ 次重复独立试验中事件 $ A $ 发生的次数,$ p $ 是事件 $ A $ 的概率。则对于任意正数 $ \varepsilon $, \[ \lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| < \varepsilon \right) = 1. \] 这是伯努利大数定律,它表明当 $ n $ 趋向于无穷大时,事件 $ A $ 发生的相对频率 $ \frac{X}{n} $ 依概率收敛到 $ p $。因此,选项B是正确的。 **选项C:** 设 $ X $ 是 $ n $ 次重复独立试验中事件 $ A $ 发生的次数,$ p $ 是事件 $ A $ 的概率。则对于任意正数 $ \varepsilon $, \[ \lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| > \varepsilon \right) = 1. \] 这与伯努利大数定律相矛盾,伯努利大数定律表明 $ \lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| < \varepsilon \right) = 1 $,这意味着 $ \lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{X}{n} - p \right| > \varepsilon \right) = 0 $。因此,选项C是不正确的。 **选项D:** 伯努利大数定律说明当 $ n $ 充分大时,事件 $ A $ 发生的频率与概率有较大偏差的可能性较小,同时从理论上证明了频率的稳定性。 这是伯努利大数定律的正确解释。因此,选项D是正确的。 不正确的结论是 $\boxed{C}$。

解析

本题主要考查切比雪夫不等式、伯努利大数定律及相关概率极限性质,需逐一分析各选项正确性:

选项A分析

$X$是$n$次独立重复试验中事件$A$发生的次数,则$X\sim B(n,p)$,期望$E(X)=np$,方差$D(X)=np(1-p)$。
考虑$Y=\frac{X}{n}$,则$E(Y)=p$,$D(Y)=\frac{p(1-p)}{n}$。
根据切比雪夫不等式:对任意$\varepsilon>0$,
$P\left(|Y-E(Y)|\geq\varepsilon\right)\leq\frac{D(Y)}{\varepsilon^2}=\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$
等价于:
$P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=1-P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|\geq\varepsilon\right)\geq1-\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$
选项A正确。

选项B分析

伯努利大数定律的核心结论是:当$n\to\infty$时,频率$\frac{X}{n}$依概率收敛到概率$p$,即对任意$\varepsilon>0$,
$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=1$
选项B正确。

选项C分析

由选项B的伯努利大数定律,$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=1$,则其对立事件的概率极限为:
$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|>\varepsilon\right)=1-\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=0$
选项C错误。

选项D分析

伯努利大数定律的意义正是:当$n$充分大时,频率$\frac{X}{n}$与概率$p$偏差较大的可能性很小(即概率趋近于0),从理论上证明了频率的稳定性。选项D正确。

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