五、某工厂生产的零件废品率为10%，某人要采购一批这种零件，他希望以95%的概率保证其中合格品不低于2000个，问他至少应购买多少零件？Phi(1.65)=0.95 2249

为了确定某人至少应购买多少零件，以确保以95%的概率其中合格品不低于2000个，我们可以使用二项分布的正态近似。以下是解题步骤：

1. 定义变量和参数：

   • 设 $n$ 为购买的零件总数。
   • 废品率为10%，因此合格品率为 $p = 1 - 0.10 = 0.90$。
   • 合格品的数量 $X$ 服从二项分布 $X \sim \text{Binomial}(n, 0.90)$。

2. 使用正态近似：

   • 对于大的 $n$，二项分布可以近似为正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu = np$ 和 $\sigma^2 = np(1-p)$。
   • 这里， $\mu = 0.90n$ 和 $\sigma^2 = 0.90n \cdot 0.10 = 0.09n$，所以 $\sigma = \sqrt{0.09n} = 0.3\sqrt{n}$。

3. 设置概率条件：

   • 我们希望以95%的概率合格品数量 $X$ 至少为2000，即 $P(X \geq 2000) \geq 0.95$。
   • 使用正态近似，这可以写为 $P\left( Z \geq \frac{2000 - 0.90n}{0.3\sqrt{n}} \right) \geq 0.95$，其中 $Z$ 是标准正态随机变量。
   • 从标准正态分布表中，我们知道 $P(Z \geq -1.65) = 0.95$。因此，我们需要 $\frac{2000 - 0.90n}{0.3\sqrt{n}} \leq -1.645$（由于 $\Phi(1.65) = 0.95$，则 $\Phi(-1.65) = 0.05$）。

4. 解不等式：

   • 重新排列不等式： $2000 - 0.90n \leq -1.65 \cdot 0.3\sqrt{n}$。
   • 简化： $2000 - 0.90n \leq -0.495\sqrt{n}$。
   • 重新排列以形成关于 $\sqrt{n}$ 的二次方程： $0.90n - 0.495\sqrt{n} - 2000 \geq 0$。

5. 求解二次方程：

   • 设 $x = \sqrt{n}$。则方程变为 $0.90x^2 - 0.495x - 2000 \geq 0$。
   • 使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求解二次方程 $0.90x^2 - 0.495x - 2000 = 0$，其中 $a = 0.90$， $b = -0.495$， $c = -2000$。
   • $x = \frac{0.495 \pm \sqrt{0.495^2 + 4 \cdot 0.90 \cdot 2000}}{2 \cdot 0.90} = \frac{0.495 \pm \sqrt{0.245025 + 7200}}{1.8} = \frac{0.495 \pm \sqrt{7200.245025}}{1.8} \approx \frac{0.495 \pm 84.8543}{1.8}$。
   • 取正根： $x \approx \frac{85.3493}{1.8} \approx 47.42$。
   • 由于 $x = \sqrt{n}$，则 $n \approx 47.42^2 \approx 2248.7$。

6. 向上取整：

   • 由于 $n$ 必须是整数，我们向上取整到下一个整数，即 $n = 2249$。

因此，某人至少应购买的零件数为 $\boxed{2249}$。