题目

4.（5.0分）4. f(z)=aln(x^2+y^2)+iarctan(y)/(x)在x>0时解析，则a=（）A. -(1)/(2)B. 1C. (1)/(2)D. -1

4.（5.0分）4. $f(z)=a\ln(x^{2}+y^{2})+iarctan\frac{y}{x}$在$x>0$时解析，则a=（）

A. $-\frac{1}{2}$

B. 1

C. $\frac{1}{2}$

D. -1

题目解答

答案

C. $\frac{1}{2}$

解析

本题考查复变函数解析性的知识，解题思路是通过对给定函数求导，然后根据函数在某点解析的条件来确定参数 $a$ 的值。

  1. 首先对函数 $f(z)=a\ln(x^{2}+y^{2})+iarctan\frac{y}{x}$ 求关于 $x$ 的偏导数：

    • 根据求导公式 $(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}u^\prime$，对 $a\ln(x^{2}+y^{2})$ 求导得：
      • $\frac{\partial}{\partial x}(a\ln(x^{2}+y^{2})) = a\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}$
    • 根据求导公式 $(\arctan u)^\prime=\frac{1}{1 + u^{2}}u^\prime$，对 $iarctan\frac{y}{x}$ 求导得：
      • $\frac{\partial}{\partial x}(iarctan\frac{y}{x}) = i\cdot\frac{-\frac{y}{x^{2}}}{1 + (\frac{y}{x})^{2}} = i\cdot\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$
    • 所以 $\frac{\partial f}{\partial x}=a\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}+i\cdot\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$。

  2. 然后对函数 $f(z)$ 求关于 $y$ 的偏导数：

    • 根据求导公式 $(\ln u)^\prime=\frac{1}{1 + u^{2}}u^\prime$，对 $a\ln(x^{2}+y^{2})$ 求导得：
      • $\frac{\partial}{\partial y}(a\ln(x^{2}+y^{2})) = a\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}$
    • 根据求导公式 $(\arctan u)^\prime=\frac{1}{1 + u^{2}}u^\prime$，对 $iarctan\frac{y}{x}$ 求导得：
      • $\frac{\partial}{\partial y}(iarctan\frac{y}{x}) = i\cdot\frac{\frac{1}{x}}{1 + (\frac{y}{x})^{2}} = i\cdot\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$
    • 所以 $\frac{\partial f}{\partial y}=a\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}+i\cdot\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$。

  3. 接着根据柯西 - 黎曼方程 $\frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}$ 来确定 $a$ 的值：

    • 将 $\frac{\partial f}{\partial x}=a\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}+i\cdot\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}=a\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}+i\cdot\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$ 代入柯西 - 黎曼方程得：
      • $a\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}+i\cdot\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}=-i\left(a\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}+i\cdot\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)$
      • 展开右边得：
      • $a\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}+i\cdot\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}=-i\cdot a\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}-i^{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$
      • 因为 $i^{2}=-1$，所以上式变为：
      • $a\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}+i\cdot\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}=-i\cdot a\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$
      • 对比等式两边实部和虚部：
      • 实部：$a\cdot\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$，解得 $a = \frac{1}{2}$。