设有两种报警系统I与II,它们单独使用时,有效的概率分别为0.92与0.93,且已知在系统I失效的条件下,系统II有效的概率为0.85,则系统I与II同时有效的概率为()。A. 0.866B. 0.863C. 0.864D. 0.862

考查要点：本题主要考查条件概率的理解与应用，以及如何利用全概率公式分解事件概率。

解题核心思路：

1. 明确事件关系：将系统I有效（事件A）和系统II有效（事件B）作为两个相关事件，利用条件概率公式建立关系。
2. 分解系统II有效的情况：系统II有效的情况可以分为“系统I有效时II有效”和“系统I失效时II有效”两部分，通过已知条件求出两部分概率后相加。
3. 关键公式应用：利用条件概率公式 $P(B|A^c) = \frac{P(B \cap A^c)}{P(A^c)}$，结合全概率公式 $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A^c)$，最终求出 $P(A \cap B)$。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设事件 $A$ 表示系统I有效，事件 $B$ 表示系统II有效。
• 已知 $P(A) = 0.92$，$P(B) = 0.93$，$P(B|A^c) = 0.85$（其中 $A^c$ 表示系统I失效）。

步骤2：计算 $P(B \cap A^c)$
根据条件概率公式：
$P(B|A^c) = \frac{P(B \cap A^c)}{P(A^c)} \implies P(B \cap A^c) = P(B|A^c) \cdot P(A^c)$
其中，$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.92 = 0.08$，代入得：
$P(B \cap A^c) = 0.85 \times 0.08 = 0.068$

步骤3：利用全概率公式求 $P(B \cap A)$
系统II有效的情况可分解为两部分：
$P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A^c)$
代入已知 $P(B) = 0.93$ 和 $P(B \cap A^c) = 0.068$，得：
$P(B \cap A) = P(B) - P(B \cap A^c) = 0.93 - 0.068 = 0.862$

结论：系统I与II同时有效的概率为 $0.862$，对应选项D。