题目

在10件产品中有2件一等品，7件二等品和一件次品，从10件产品中不放回地抽取3件，用X表示其中的一等品数，Y表示其中的二等品数.求：（1）(X,Y的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律；（3）X和Y是否独立；（4）在(X,Y的条件下，Y的条件分布律；（5）(X,Y，(X,Y；（6）(X,Y，(X,Y的分布律.

在10件产品中有2件一等品，7件二等品和一件次品，从10件产品中不放回地抽取3件，用X表示其中的一等品数，Y表示其中的二等品数.求：

（1） $\left(X,Y\right)$ 的联合分布律；

（2）X，Y的边缘分布律；

（3）X和Y是否独立；

（4）在 $X=0$ 的条件下，Y的条件分布律；

（5） $P\left\{X\le Y\right\}$ ， $P\left\{X=1\mid Y=1\right\}$ ；（6） $Z=X+Y$ ， $M=\max(X,Y)$ 的分布律.

题目解答

答案

（1）不放回抽样条件下， $\left(X,Y\right)$ 的联合分布律为 $P\left(X=0,Y=0\right)=0,P\left(X=0,Y=1\right)=0$ ， $P\left(X=0,Y=2\right)=\frac{C_7^2C_1^1}{C_{10}^3}=\frac{7}{40}$ ， $P\left(X=0,Y=3\right)=\frac{C_7^3}{C_{10}^3}=\frac{7}{24}$ ， $P\left(X=1,Y=0\right)=0$ ， $P\left(X=1,Y=1\right)=\frac{C_2^1C_7^1C_1^1}{C_{10}^3}=\frac{7}{60}$ ， $P\left(X=1,Y=2\right)=\frac{C_2^1C_7^2}{C_{10}^3}=\frac{7}{20}$ ， $P\left(X=1,Y=3\right)=0$ ， $P\left(X=2,Y=0\right)=\frac{C_2^2C_1^1}{C_{10}^3}=\frac{1}{120}$ ， $P\left(X=2,Y=1\right)=\frac{C_2^2C_7^1}{C_{10}^3}=\frac{7}{120}$ ， $P\left(X=2,Y=2\right)=0,P\left(X=2,Y=3\right)=0$ ，即 $\begin{pmatrix} X/Y&0&1&2&3 \newline 0&0&0&\frac{7}{40}&\frac{7}{24} \newline 1&0&\frac{7}{60}&\frac{7}{20}&0 \newline 2&\frac{7}{120}&\frac{1}{120}&0&0 \end{pmatrix}$ ；

（2）X的边缘分布律为 $P\left(X=0\right)=\frac{C_8^3}{C_{10}^3}=\frac{7}{15},P\left(X=1\right)=\frac{C_2^1C_8^2}{C_{10}^3}=\frac{7}{15}$ $P\left(X=2\right)=\frac{C_2^2C_8^1}{C_{10}^3}=\frac{1}{15}$ ，即 $\begin{pmatrix} X&0&1&2 \newline P&\frac{7}{15}&\frac{7}{15}&\frac{1}{15} \end{pmatrix}$ ，Y的边缘分布律为 $P\left(Y=0\right)=\frac{C_3^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{120},P\left(Y=1\right)=\frac{C_7^1C_3^2}{C_{10}^3}=\frac{7}{40}$ $P\left(Y=2\right)=\frac{C_7^2C_3^1}{C_{10}^3}=\frac{21}{40},P\left(Y=3\right)=\frac{C_7^3}{C_{10}^3}=\frac{7}{24}$ ，即 $\begin{pmatrix} Y&0&1&2&3 \newline P&\frac{1}{120}&\frac{7}{40}&\frac{21}{40}&\frac{7}{24} \end{pmatrix}$ ；

（3） $P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=\frac{7}{15}\times\frac{1}{120}\ne P\left(X=0,Y=0\right)$ ，即X与Y边缘概率的乘积不等于联合概率，则X与Y不相互独立；

（4）在 $X=0$ 的条件下，Y的条件分布律为 $P\left(Y=0|X=0\right)=\frac{P\left(X=0,Y=0\right)}{P\left(X=0\right)}=0$ ， $P\left(Y=1|X=0\right)=\frac{P\left(X=0,Y=1\right)}{P\left(X=0\right)}=0$ ， $P\left(Y=2|X=0\right)=\frac{P\left(X=0,Y=2\right)}{P\left(X=0\right)}=\frac{\frac{7}{40}}{\frac{7}{15}}=\frac{3}{8}$ ， $P\left(Y=3|X=0\right)=\frac{P\left(X=0,Y=3\right)}{P\left(X=0\right)}=\frac{\frac{7}{24}}{\frac{7}{15}}=\frac{5}{8}$ ；（5） $P\left\{X\le Y\right\}=1-P\left(X>Y\right)=1-P\left(X=1,Y=0\right)$ $-P\left(X=2,Y=0\right)-P\left(X=2,Y=1\right)$ $=1-0-\frac{7}{120}-\frac{1}{120}=\frac{14}{15}$ ， $P\left\{X=1\mid Y=1\right\}=\frac{P\left(X=1,Y=1\right)}{P\left(Y=1\right)}=\frac{\frac{7}{60}}{\frac{7}{40}}=\frac{2}{3}$ ；（6） $Z=X+Y$ 的分布律为 $P\left(Z=0\right)=P\left(X=0,Y=0\right)=0$ ， $P\left(Z=1\right)=P\left(X=0,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=0\right)$ $=0+0=0$ ， $P\left(Z=2\right)=P\left(X=0,Y=2\right)+P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=0\right)$ $=\frac{7}{40}+\frac{7}{60}+\frac{7}{120}=\frac{7}{20}$ ， $P\left(Z=3\right)=P\left(X=0,Y=3\right)+P\left(X=1,Y=2\right)+P\left(X=2,Y=1\right)$ $=\frac{7}{24}+\frac{7}{20}+\frac{1}{120}=\frac{13}{20}$ ， $P\left(Z=4\right)=P\left(X=1,Y=3\right)=0$ ， $P\left(Z=5\right)=P\left(X=2,Y=3\right)=0$ ，即 $\begin{pmatrix} Z&0&1&2&3&4&5 \newline P&0&0&\frac{7}{20}&\frac{13}{20}&0&0 \end{pmatrix}$ ， $M=\max(X,Y)$ 的分布律为 $P\left(M=0\right)=P\left(X=0,Y=0\right)=0$ ， $P\left(M=1\right)=P\left(X=0,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=0\right)+P\left(X=1,Y=1\right)$ $=0+0+\frac{7}{60}=\frac{7}{60}$ ， $P\left(M=2\right)=P\left(X=0,Y=2\right)+P\left(X=1,Y=2\right)$ $+P\left(X=2,Y=0\right)+P\left(X=2,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=2\right)$ $=\frac{7}{20}+\frac{7}{40}+\frac{7}{120}+\frac{1}{120}+0=\frac{71}{120}$ ， $P\left(M=3\right)=P\left(Y=3\right)=\frac{7}{24}$ ，即 $\begin{pmatrix} M&0&1&2&3 \newline P&0&\frac{7}{60}&\frac{71}{120}&\frac{7}{24} \end{pmatrix}$ .