题目
4、设某客观现象可用X=(X_(1),X_(2),X_(3))^prime来描述，在因子分析时，从约相关阵出发计算出特征值为lambda_(1)=1.754,lambda_(2)=1,lambda_(3)=0.255。由于((lambda_(1)+lambda_(2)))/((lambda_(1)+lambda_{2)+lambda_(3))}geq85%，所以找前两个特征值所对应的公共因子即可，又知lambda_(1),lambda_(2)对应的正则化特征向量分别为(0.707,-0.316,0.632)^prime及(0,0.899,0.447)^prime，要求：(1)、计算因子载荷矩阵A，并建立因子模型；(2)、计算共同度h_(i)^2(i=1,2,3)。(3)、计算第一公共因子对X的“贡献”。
4、设某客观现象可用$X=(X_{1},X_{2},X_{3})^{\prime}$来描述，在因子分析时，从约相关阵出发计算出特征值为$\lambda_{1}=1.754,\lambda_{2}=1,\lambda_{3}=0.255$。由于$\frac{(\lambda_{1}+\lambda_{2})}{(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})}\geq85\%$，所以找前两个特征值所对应的公共因子即可，又知$\lambda_{1},\lambda_{2}$对应的正则化特征向量分别为$(0.707,-0.316,0.632)^{\prime}$及$(0,0.899,0.447)^{\prime}$，要求：
(1)、计算因子载荷矩阵A，并建立因子模型；
(2)、计算共同度$h_{i}^{2}(i=1,2,3)$。
(3)、计算第一公共因子对X的“贡献”。
题目解答
答案
(1) **因子载荷矩阵 $A$**
计算得：
\[
A = \begin{pmatrix} 0.935 & 0 \\ -0.418 & 0.899 \\ 0.836 & 0.447 \end{pmatrix}
\]
因子模型：
\[
X_1 = 0.935F_1 + \epsilon_1, \quad X_2 = -0.418F_1 + 0.899F_2 + \epsilon_2, \quad X_3 = 0.836F_1 + 0.447F_2 + \epsilon_3
\]
(2) **共同度 $h_i^2$**
\[
h_1^2 \approx 0.874, \quad h_2^2 \approx 0.983, \quad h_3^2 \approx 0.899
\]
(3) **第一公共因子贡献**
\[
\lambda_1 = 1.754
\]
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
(1) & A = \begin{pmatrix} 0.935 & 0 \\ -0.418 & 0.899 \\ 0.836 & 0.447 \end{pmatrix}, \\
& X_1 = 0.935F_1 + \epsilon_1, \quad X_2 = -0.418F_1 + 0.899F_2 + \epsilon_2, \quad X_3 = 0.836F_1 + 0.447F_2 + \epsilon_3; \\
(2) & h_1^2 \approx 0.874, \quad h_2^2 \approx 0.983, \quad h_3^2 \approx 0.899; \\
(3) & 1.754.
\end{array}
}
\]