题目

12.如图11.51所示,长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径-|||-分别为R2,R3的导体圆筒构成,电流沿轴线方向由一导体流入,从另一导体流-|||-出,设电流I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小-|||-(0lt rlt infty )

题目解答

答案

解析

本题考察安培环路定理在无限长同轴电缆中的应用，需分四个区域讨论磁场分布。解题核心在于：

  1. 确定电流分布：导体圆柱中的电流密度均匀，圆筒部分的电流为返回电流，均匀分布在圆筒横截面上。
  2. 对称性分析：磁场具有轴对称性，环路选择为同心圆。
  3. 分段计算：根据r的不同区间，计算穿过环路的电流，应用安培定理求解。

区域1：$0 < r \leqslant R_1$（导体圆柱内部）

  1. 电流密度：$J = \dfrac{I}{\pi R_1^2}$。
  2. 包围电流：$I_{\text{enc}} = J \cdot \pi r^2 = \dfrac{I r^2}{R_1^2}$。
  3. 安培定理：$B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}}$，得：
    $B_1 = \dfrac{\mu_0 I r}{2\pi R_1^2}.$

区域2：$R_1 < r \leqslant R_2$（圆柱与圆筒之间）

  1. 包围电流：环路包含整个圆柱电流$I$。
  2. 安培定理：$B \cdot 2\pi r = \mu_0 I$，得：
    $B_2 = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}.$

区域3：$R_2 < r \leqslant R_3$（导体圆筒内部）

  1. 圆筒电流密度：返回电流$I$均匀分布，$J' = \dfrac{-I}{\pi(R_3^2 - R_2^2)}$。
  2. 包围电流：圆柱电流$I$减去圆筒中从$R_2$到$r$的电流：
    $I_{\text{enc}} = I - \left(I \cdot \dfrac{r^2 - R_2^2}{R_3^2 - R_2^2}\right) = I \cdot \dfrac{R_3^2 - r^2}{R_3^2 - R_2^2}.$
  3. 安培定理：得：
    $B_3 = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot \dfrac{R_3^2 - r^2}{R_3^2 - R_2^2}.$

区域4：$r > R_3$（圆筒外部）

  1. 包围电流：总电流$I + (-I) = 0$。
  2. 磁场：$B_4 = 0$。