题目

2.（3.3分）设A，B是随机事件，且P(A)=P(B)=0.5，P(AUB)=1，则必有（）A AB=ΦB P(overline(A)∪overline(B))=1C P(A-B)=0D A∪B=Ω

2.（3.3分）设A，B是随机事件，且P(A)=P(B)=0.5，P(AUB)=1，则必有（） A AB=Φ B P($\overline{A}$∪$\overline{B}$)=1 C P(A-B)=0 D A∪B=Ω

题目解答

答案

由题意，$ P(A) = P(B) = 0.5 $，$ P(A \cup B) = 1 $。根据概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \implies 1 = 0.5 + 0.5 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 0$
选项分析：

  • A：$ AB = \emptyset $
    $ P(A \cap B) = 0 $ 不一定意味着 $ A \cap B = \emptyset $，故不成立。
  • B：$ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 $
    由德摩根定律，$ \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} $，且 $ P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 $，故成立。
  • C：$ P(A - B) = 0 $
    $ P(A - B) = P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 $，故不成立。
  • D：$ A \cup B = \Omega $
    $ P(A \cup B) = 1 $ 不一定意味着 $ A \cup B = \Omega $，故不成立。

答案： $\boxed{B}$

解析

本题考查随机事件的概率运算、概率加法公式、德摩根定律以及事件间的关系等知识点。解题的关键思路是先根据已知条件和概率加法公式求出$P(A\cap B)$，再利用相关定理和公式对每个选项进行逐一分析判断。

  1. 计算$P(A\cap B)$：
    已知$P(A)=P(B)=0.5$，$P(A\cup B)=1$，根据概率加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$，将已知值代入可得：
    $\begin{align*}1&=0.5 + 0.5 - P(A\cap B)\\1&=1 - P(A\cap B)\\P(A\cap B)&=1 - 1\\P(A\cap B)&=0\end{align*}$
  2. 分析选项A：
    虽然$P(A\cap B)=0$，但在概率论中，概率为$0$的事件不一定是不可能事件，即不一定有$A\cap B = \varnothing$，所以选项A不成立。
  3. 分析选项B：
    根据德摩根定律，$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}$。
    因为$P(\overline{A\cap B}) = 1 - P(A\cap B)$，又已求得$P(A\cap B)=0$，所以$P(\overline{A\cap B}) = 1 - 0 = 1$，即$P(\overline{A}\cup\overline{B}) = 1$，选项B成立。
  4. 分析选项C：
    根据事件差的概率公式$P(A - B)=P(A\cap\overline{B}) = P(A) - P(A\cap B)$，将$P(A)=0.5$，$P(A\cap B)=0$代入可得：
    $P(A - B)=0.5 - 0 = 0.5\neq0$，所以选项C不成立。
  5. 分析选项D：
    虽然$P(A\cup B)=1$，但在概率论中，概率为$1$的事件不一定是必然事件，即不一定有$A\cup B = \Omega$，所以选项D不成立。