题目

3. 设随机变量X_(1),X_(2),...,X_(n)相互独立且都服从参数为2的泊松分布，则当n充分大时，随机变量Y_(n)=overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)近似服从____填空题(10分) (请按题目中的空缺顺序依次填写答案) fbox{}

3. 设随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立且都服从参数为2的泊松分布，则当n充分大时，随机变量$Y_{n}=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$近似服从____ 填空题(10分) (请按题目中的空缺顺序依次填写答案) $\fbox{}$

题目解答

答案

已知每个 $ X_i $ 服从参数为2的泊松分布，即 $ E(X_i) = 2 $，$ D(X_i) = 2 $。 定义 $ Y_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $，则 \[ E(Y_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = 2, \] \[ D(Y_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{2}{n}. \] 由中心极限定理，当 $ n $ 充分大时，$ Y_n $ 近似服从正态分布 $ N\left(2, \frac{2}{n}\right) $。 \[ \boxed{N\left(2, \frac{2}{n}\right)} \]

解析

本题考查知识点为泊松分布的期望与方差以及中心极限定理。解题思路如下：

  1. 首先明确泊松分布的期望和方差性质：若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim P(\lambda)$，则其期望$E(X)=\lambda$，方差$D(X)=\lambda$。
  2. 接着计算$Y_{n}=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$的期望和方差：
    • 计算期望$E(Y_{n})$：
      根据期望的线性性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$为常数，$X,Y$为随机变量），对于$Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，有$E(Y_{n})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})$。
      因为$E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})$，已知$X_{i}\sim P(2)$，所以$E(X_{i}) = 2$，则$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})=\frac{1}{n}\times n\times2 = 2$。
    • 计算方差$D(Y_{n})$：
      由于$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，根据方差的性质$D(aX)=a^{2}D(X)$（$a$为常数，$X$为随机变量）以及相互独立随机变量和的方差等于方差的和，对于$Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，有$D(Y_{n})=D(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})$。
      因为$D(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i = 1}^{n}D(X_{i})$，已知$X_{i}\sim P(2)$，所以$D(X_{i}) = 2$，则$\frac{1}{n^{2}}\sum_{i = 1}^{n}D(X_{i})=\frac{1}{n^{2}}\times n\times2=\frac{2}{n}$。
  3. 最后根据中心极限定理：设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：$E(X_{i})=\mu$，$D(X_{i})=\sigma^{2}\neq0$（$i = 1,2,\cdots,n$），则当$n$充分大时，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$近似服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
    在本题中$\mu = 2$，$\sigma^{2}=2$，所以当$n$充分大时，$Y_{n}=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$近似服从正态分布$N(2,\frac{2}{n})$。